Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

19
,2
2
1
4
3
cos4 =⋅=⋅=
π
a ,32
2
3
4
3
sin4 =⋅=⋅=
π
b .322 iz ⋅+=
Ответ: а) ;
4
,2
π
ϕ
−==r б) .322,32,2 izba ⋅+===
Рис. 6
Если
r
- модуль комплексного числа z , а
ϕ
- главное значение его аргу-
мента, то можно записать
(
)
ϕ
ϕ
sincos irz
+
=
.
Такую форму записи называют тригонометрической формой записи
комплексного числа. Используя эту форму записи, легко вычислить
n
z и
n
z
для
Nn ∈ .
Возведение в n-ую степень комплексного числа производится по фор-
муле Муавра:
()()
(
)
.sincossincos
ϕϕϕϕ
ninrirz
n
n
n
⋅+=⋅+=
Извлечение корня n-ой степени производится по формуле
,
2
sin
2
cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅+
+
=
n
k
i
n
k
rz
nn
πϕπϕ
где k=0,1,2, . . . , n-1.
Последнее означает, что корень n-ой степени из комплексного числа
имеет ровно n различных значений.
Пример 8. Дано
.31 iz ⋅+= Найти
3
z и
3
z
.
Решение. Так как
,31 iz ⋅+=
то .
3
2
π
ϕ
=== иzr Следовательно,
.
3
sin
3
cos2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+=
ππ
iz
Тогда
()
.8sincos8
3
sin
3
cos2
3
3
−=⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+=
ππ
ππ
iiz
.
3
2
3
sin
3
2
3
cos2
3
sin
3
cos2
3
3
3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅+
+
⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+=
π
π
π
π
ππ
k
i
k
iz
Полагая k=0,1,2, получим три значения корня:
Im
1
0
ϕ
Re
-1
(
)
1;1
−
M

Страницы