Составители:
Рубрика:
208
Пример 59. Пусть электрическая лампа перемещается по вертикали ОВ
(оси
Оу). На плоскости, перпендикулярной ОВ, возьмем точку А (на оси Ох).
На какой высоте надо повесить лампу, чтобы в точке
А была максимальная
освещенность? (рис.29)
x
y
Рис. 29
0
h
α
A
B
r
а
Решение. Пусть лампа помещена в точку
В и АВ=r, ОВ=h, ОА=а,
α
=∠OAB . Освещенность J лампы в точке А определяется по закону
2
sin
r
cJ
α
⋅=
, где с – коэффициент пропорциональности. Так как
222
har += ,
r
h
=
α
sin , то
()
3
22
)(
ah
h
chJ
+
⋅=
, где );0[
+
∞
∈
h .
Найдем наибольшее значение этой функции:
()
5
22
22
2
)(
ah
ha
chJ
+
−
=
′
, 0)( =
′
hJ при 02
22
=− ha , то есть при
2
a
h =
.
Исследуем знак
)(hJ
′
слева и справа от найденной критической точки.
h
0
2
a
max
Имеем, что слева от
2
a
h =
функция возрастает, а справа убывает.
Значит, при
2
a
h =
функция имеет максимум. При исследовании функции на
концах её области определения имеем:
0)(lim;0)(lim
0
=
=
+∞→+→
hJhJ
hh
.
Значит, при
2
a
h =
функция принимает наибольшее значение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- …
- следующая ›
- последняя »
