Составители:
Рубрика:
211
ГЛАВА III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНЕТЕГРАЛ
§1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Одной из основных задач дифференциального исчисления является задача
нахождения производной или дифференциала функции.
В интегральном исчислении решается обратная задача – отыскание функ-
ции по заданной ее производной или дифференциалу. К этой задаче приводят
такие важные проблемы механики, как определение закона движения матери-
альной
точки, если известны ее скорость или ускорение.
Определение 1. Функция
(
)
xF
называется первообразной для данной
функции f(x) на некотором промежутке, если на этом промежутке
)()( xfxF
=
′
,
или, что то же, если
()
dxxfxdF )(= .
Пример 1. Найти первообразную для функции
3
)( xxf = .
Решение: Так как
34
4
1
xx =
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, то из определения 1 следует, что функция
4
4
1
)( xxF =
является первообразной для функции f(x).
Ясно, что эта первообразная неединственна. В силу того, что производная
постоянной равна нулю, имеем
34
4
1
xCx =
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
.
Следовательно, любая функция вида
Cx +
4
4
1
, где С – произвольная по-
стоянная, будет первообразной для данной функции.
Рассмотренный пример показывает, что если задача нахождения первооб-
разной функции имеет хотя бы одно решение, то она имеет и бесконечное
множество других решений, отличающихся от упомянутого на произвольное
постоянное слагаемое.
Возникает вопрос: исчерпывается ли множество всех первообразных для
данной функции
f(x) выражением вида
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- …
- следующая ›
- последняя »
