Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 297 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

293
постоянная; окончательное решение содержит две произвольных
постоянных:
21
1
))((
)(
СdxСdxxfy
Сdxxfy
++=
+=
′
∫
∫
∫
Заметим, что уравнение n-го порядка
(
)
()
2, >= nxfy
n
решаются
последовательным n-кратным интегрированием, понижая на каждом шаге
порядок уравнения. Окончательное решение этого уравнения содержит n
произвольных постоянных.
Пример 1. Решить уравнение
xxy sin
+
=
′
′
Проинтегрируем два раза правую часть уравнения, получим:
21
3
21
2
1
2
1
sin
6
)cos
2
(
cos
2
)sin(
CxCx
x
CdxCx
x
y
Cx
x
Cdxxxy
++−=++−=
+−=++=
′
∫
∫
Получили общее решение исходного уравнения.
Пример 2. Найти частное решение уравнения
x
xey =
′′
,
удовлетворяющее начальным условиям:
1
=
y
,
0
=
′
y
, при x=0.
Интегрируя по частям, получим
111
)1( CxeCexeCdxxey
xxxx
+−=+−=+=
′
∫
.
2121211
)2(2)( CxCxeCxCexeCxCeexedxCexey
xxxxxxxx
++−=++−=++−−=+−=
∫
-
общее решение исходного уравнения.
Чтобы найти частное решение, решим систему из 2-х уравнений:
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++−=
+−=
′
21
1
2
1
CxCxey
Cxey
x
x
при
(
)
10
=
y ,
(
)
00
=
′
y .
Получим
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
2
0
1
0
201
100
Ce
Ce
, отсюда
1
1
=
C
,
3
2
=
C
.
Подставляя найденные
1
C и
2
C в общее решение, получим частное
решение данного уравнения:
3)2( ++−= xxey
x

Страницы