Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 299 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

295
Замечание. Решая данное уравнение пологали, что 0
≠
z , т.е.
Сyy ≠≠
′
,0 .При этом потери решения не произошло: y=C входит в общее
решение при
0
1
=
C
III. Уравнение вида
0),,(
=
′
′
′
yyyF , (3)
не содержащее явно независимой переменной x, подстановкой
zy
=
′
приводится к уравнению первого порядка.
Действительно, пусть
zy
=
′
, тогда
z
dy
dz
y
dy
dz
dx
dy
dy
dz
dx
dz
dx
yd
y ⋅=
′
⋅=⋅==
′
=
′′
Следовательно, уравнение (3) преобразуется в уравнение первого
порядка с неизвестной функцией
(
)
yzz
=
:
0),,( =⋅ z
dy
dz
zyF
Решая это уравнение относительно z, считая y независимой переменной
получим общее решение в виде:
),(
1
Cyz
ϕ
=
.
Так как
dx
dy
yz =
′
=
, то
()
1
, Cy
dx
dy
ϕ
=
Разделяя переменные, получим
()
dx
Cy
dy
=
1
,
ϕ
,
интегрируя, получим общий интеграл уравнения (3):
()
2
1
,
Cx
Cy
dy
+=
∫
ϕ
Пример 4. Решить уравнение
0)(
2
=
′
−
′′
yyy
Положим
zy =
′
, тогда z
dy
dz
y ⋅=
′′
Данное уравнение перепишется:

Страницы