Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 301 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

297
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным на-
чальным условиям:
8.
xxy cos
2
+=
′′
,
(
)
2)0(,10
=
′
=
yy .
9.
xy 2cos4=
′′
,
(
)
0)0(,00
=
′
=
yy .
Ответы:
1.
21
cos СxСxy ++−= ; 2.
21
sin СxСxy
+
+
−
=
; 3.
21
ln СxСxy
+
+=
;
4.
21
ln
1
СxС
x
y ++= ; 5.
21
)1(ln СxxСy
+
−
=
; 6.
21
2
СxСy += ;
7.
xССctgy
12
−= ; 8. 22cos
12
4
++−= xx
x
y ; 9.
xy 2cos1−=
.
§8. Однородные линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 1. Однородным линейным дифференциальным уравне-
нием (однородным ЛДУ) второго порядка называется уравнение вида
0)()(
=
+
′
+
′
′
yxqyxpy , (1)
где
()
xyy =
- искомая функция,
(
)
xp
и
(
)
xq
- некоторые известные функции.
Определение 2. Уравнение вида
0
=
+
′
+
′
′
qyypy , (2)
где p и q – некоторые действительные числа, называется однородным ЛДУ
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Определение 3. Два решения
)(
1
xy и )(
2
xy уравнения (1) называются
линейно независимыми на отрезке
[
]
ba; , если их отношение не является по-
стоянной величиной, то есть
сonst
xy
xy
≠
)(
)(
2
1
для
[
]
bax ;
∈
, или другими словами:
не существует такого постоянного числа k, при котором выполняется равен-
ство
)()(
21
xkyxy = для
[]
bax ;∈ .
В противном случае, решения
)(
1
xy и )(
2
xy называются линейно зави-
симыми.
Теорема (об общем решении однородного ЛДУ второго порядка).
(без доказательства).

Страницы