Составители:
Рубрика:
299
3.
1
λ
и
2
λ
- комплексные числа, то есть характеристическое уравнение (3) не
имеет действительных корней.
Рассмотрим эти случаи.
1. Корни характеристического уравнения (3) – действительные числа и
21
λ
λ
≠ .
В этом случае частными решениями уравнения (1) будут функции:
x
ey
1
1
λ
=
и
x
ey
2
2
λ
=
Эти решения линейно независимы, так как
()
conste
e
e
y
y
x
x
x
≠==
−
12
1
2
1
2
λλ
λ
λ
.
Следовательно, по теореме об общем решении однородного ЛДУ об-
щее решение уравнения (1) имеет вид:
xx
eCeCy
21
21
λλ
+= (4)
2. Корни характеристического уравнения (3) – действительные числа и
λ
λ
λ
==
21
.
Так как
λ
является двукратным корнем характеристического уравне-
ния, то уравнение (3), в этом случае, можно записать в виде
0
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=++
p
qp
λλλ
, откуда 02
=
+
p
λ
. В этом случае
x
ey
λ
=
1
, второе же
частное решение будем искать в виде
x
xey
λ
=
2
.
Отметим, что
1
y
и
2
y
- линейно независимы, так как constx
y
y
≠=
1
2
.
Покажем, что
x
xey
λ
=
2
является решением уравнения (2).
λxλx
λxeey +=
′
2
λxλxλxλxλx
xeλλexeλλeλey
22
2
2 +=++=
′′
Подставим у
2
,у
2
'
,
у
2
"
в (2), получим:
(
)
(
)
()
()
()
,02
22
2
22
=++++=
=++++=++++
pλxqpλλe
qxxppxλλeqxeλxeepxeλλe
λx
λxλxλxλxλxλx
λ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 301
- 302
- 303
- 304
- 305
- …
- следующая ›
- последняя »
