Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 304 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

300
так как 0
2
=++ qpλλ и 02
=
+ pλ .
Следовательно,
λx
xey =
2
– частное решение уравнения (2).
Таким образом, по теореме об общем решении однородного ЛДУ об-
щее решение уравнения (2) в случае, когда
λ
λ
λ
=
=
21
, имеет вид:
(
)
λxλxλx
exCCxeCeCy
2121
+=+= . (5)
3. Характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней.
В этом случае корни уравнения
i
β
α
λ
+
=
1
, i
β
α
λ
−
=
2
- сопряженные
комплексные числа, где
2
р
−=
α
,
4
2
р
q
β
−= .
Можно показать (аналогично пунктам 1 и 2), что общее решение урав-
нения (2) имеет вид:
()
βxCβxC
αх
еу sincos
21
+= (6).
Пример 1. Найти общие решения уравнений:
а)
02 =−
′
+
′′
yyy ; б) 044
=
+
′
−
′
′
ууу в) 052 =+
′
+
′
′
ууу .
Решение. а) Решая характеристическое уравнение
02
2
=−+
λλ
, находим корни 1
1
=
λ
, 2
2
−
=
λ
.
Тогда, по формуле (4 ) общее решение имеет вид:
хх
еСеСу
2
21
−
+=
б) Решая характеристическое уравнение
044
2
=+− х
λ
или
()
02
2
=−
λ
,
получаем
2
21
===
λ
λ
λ
.
Тогда, по формуле (5) общее решение имеет вид:
(
)
x
exCCy
2
21
+= .
в) Характеристическое уравнение
052
2
=++
λλ
не имеет действитель-
ных корней, решая его, получаем два сопряженных комплексных корня
i21
1
+−=
λ
и i21
2
−−
=
λ
, где
1
−
=
α
, 2
=
β
Тогда по формуле (6) общее решение уравнения имеет вид:
(
)
xCxCey
x
2sin2cos
21
+=
−
.

Страницы