Составители:
Рубрика:
303
Теорема об общем решении неоднородного ЛДУ второго порядка
(без доказательства).
Общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка (1) равно сумме
какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответст-
вующего ему однородного уравнения(2).
Эта теорема справедлива и в случае, когда в уравнениях (1) и (2)
(
)
xp ,
()
xq , - постоянные величины, то есть для неоднородного ЛДУ второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим неоднородное ЛДУ с постоянными коэффициентами:
)(xfqyypy
=
+
′
+
′
′
, (3)
где p и q – постоянные числа, и соответствующее ему однородное уравнение
0
=
+
′
+
′
′
gyypy . (4)
Тогда ( по теореме) общее решение уравнения (3) имеет вид:
21
yyy
+
=
, (5)
где
1
y – общее решение уравнения (4), а
2
y - какое-либо частное решение
уравнения (3).
Как находить
1
y , то есть решать однородные ЛДУ второго порядка,
рассматривалось в предыдущем параграфе.
Нахождение же
2
y - частного решения неоднородного ЛДУ, сущест-
венно зависит от вида правой части уравнения (3).
Будем рассматривать неоднородное ЛДУ вида (3), у которого правая
часть такова:
(
)
xxPxxPexf
mn
x
νν
µ
sin)(cos)()( +=
, (6)
где µ и
ν
- постоянные числа (в частности, могут быть и равные нулю), P
n
(x)
и P
m
(x)- заданные многочлены степени n и m соответственно.
Определение 3. Уравнение (3) с правой частью вида (6) называется не-
однородным ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и со
специальной правой частью.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 303
- 304
- 305
- 306
- 307
- …
- следующая ›
- последняя »
