Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 306 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

304
Частное решение
2
y такого уравнения можно найти алгебраическим
путем без вычисления интеграла. Для его нахождения используется ком-
плексное число
i
ν
µ
+ , называемое контрольным, которое составляется для
каждого уравнения (3) по виду его правой части (6).
Например, для уравнения с правой частью:
(
)
xxxexf
x
3sin3cos)(
2
−=
контрольное число равно 2+3i, а для уравнения с правой частью:
(
)
x
exxf
53
=
контрольное число равно 5+0
i .
Частное решение
y
2
уравнения (3) будет искать в виде:
(
)
(
)
(
)
xxRxxQexy
SS
µxk
νν
sincos
2
+= , (7)
где
() ()
xRxQ
ss
, - многочлены степени s с неопределенными коэффициентами,
{}
mns ,max= .
Показатель степени число
k зависит от корней
1
λ
и
2
λ
характеристиче-
ского уравнение
0
2
=++ qp
λλ
однородного уравнения (4) и от контрольного
числа
i
ν
µ
+ .
Число
k определяется следующим образом:
1.
k = 0, если контрольное число i
ν
µ
+
не равно ни одному из корней
1
λ
,
2
λ
;
2.
k = 1, если i
ν
µ
+
совпадает с одним из корней
1
λ
,
2
λ
;
3.
k = 2, если i
ν
µ
+
совпадает с обоими из корней
1
λ
,
2
λ
.
Коэффициенты многочленов
(
)
xQ
S
и
(
)
xR
S
надо найти такие, чтобы
функция (7) являлась решением уравнения (3).
Для этого
y
2
,
'
2
y ,
"
2
y вида (7) подставляют в уравнение (3) и при помо-
щи метода неопределенных коэффициентов находят коэффициенты много-
членов
()
xQ
S
и
()
xR
S
. Поясним этот метод на примерах решения неоднород-
ных ЛДУ различными видами правой части уравнения (3).
1. Пусть
0=
=
ν
µ
, тогда уравнение (3) примет вид:
(
)
.xPqyypy
n
=
+
+
(7)

Страницы