Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 308 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

306
Приравняем коэффициенты при x
2
, х и свободные члены левой и
правой части последнего равенства:
2
5
1
,
17232:
426:
22:
0
1
2
−=
−=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=++
−=+
=
C
B
A
отсюда
CBAx
BAx
Ax
Подставим найденные значения в формулу (10), получим:
.25
2
2
−−= xxy
Тогда общее решение уравнения (9) запишется в виде:
25
22
21
−−++=
−−
xxeСeСy
xx
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения:
2484
2
+=
′
−
′′
xyy (11)
Решение. Сначала найдем решение соответствующего однородного
уравнения:
04
'"
=− yy . Для этого составим характеристическое уравнение и
найдем его корни:
04
2
=−
λλ
, 0
1
=
λ
, .4
2
=
λ
Решением однородного уравнения будет:
x
eССy
4
211
+=
Составим контрольное число:
0
=
+
i
ν
µ
, поскольку один из корней
характеристического уравнения совпадает с контрольным числом, то в
формуле (8) полагаем k = 1 и частное решение будем искать в виде:
()
(
)
CxBxAxCBxAxxxxQy
+
+
=
+
+
==
232
22
(12)
Определим коэффициенты А, В и С.
Найдем
2
y
′
и
2
y
′′
и подставим их в уравнение (11):
,23
2'
2
CBxAxy ++=
,26
"
2
BAxy +=
(
)
24823426
22
+=++−+ xCBxAxBAx
или
(
)
(
)
248428612
22
+=−+−+− xCBxBAAx
Приравняем коэффициенты при
x
2
, х и свободные члены правой и
левой части:

Страницы