Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 310 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

308
xxxx
eAeAeAe
2222
6244 =+−
или
xx
eAe
22
62 =
Разделим обе части этого равенства на
x
e
2
, тогда 2А = 6, А = 3.
Значит,
x
ey
2
2
3
=
.
Следовательно, общее решение уравнения (14) имеет вид:
(
)
xx
exCxCey
2
21
3sincos ++= .
Пример 4. Найти общее решение уравнения:
x
eyyy 1234 =+
′
−
′′
(15)
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения
034
=
+
′
−
′
′
yyy :
xx
eCeCy
3
211
21
2
3,1,034
+=
===+−
λλλλ
Составим контрольное число
1
=
+
i
ν
µ
. Так как один из корней
характеристического уравнения совпадает с контрольным числом, то в
формуле (12) k = 1 и частное решение уравнения (15) будем искать в виде:
x
xAey =
2
.
Вычислим
2
y
′
,
2
y
′′
и подставим найденные значения в уравнение (15):
(
)
(
)
,2,1
22
xAeyxAey
xx
+=
′′
+=
′
()
(
)
xxxx
eAxexAexAe 123142 =++−+ .
Раскрыв скобки и разделив обе части равенства на
x
e , получим
коэффициент А:
xxxxxx
eAxeAxeAexAeAe 123442 =+−−+ ,
или
6,122,122 −==−=− AAeAe
xx
Значит,
x
xey 6
2
−= и следовательно, .6
3
21
xxx
xeeCeCy −+=
3. Пусть
0,0 ≠
=
ν
µ
. В этом случае уравнение (3) имеет вид:
(
)
(
)
xxPxxPqyypy
mn
ν
ν
sincos
+
=
+
′
+
′′
,
где
()
xP
n
и
()
xP
m
- полиномы степеней n и m соответственно.

Страницы