Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 311 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

309
Частное решение в этом случае будет иметь вид:
)sin)(cos)((
2
xxRxxQxy
ss
k
νν
−= (16)
где
()
xQ
s
и
()
xR
s
полиномы степени
{
}
mns ,max
=
.
Пример 5. Найти общее решение уравнения:
xxyy 3sin303cos154
−
=
′
+
′′
(17)
Решение. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного
уравнения
04
=
′
+
′
′
yy :
04
2
=+
λλ
; 0
1
=
λ
, 4
2
−
=
λ
x
еССу
4
211
−
+=
Составим контрольное число
iii 330
=
+
=
+
ν
µ
и сравним его с корнями
характеристического уравнения. Контрольное число не совпадает ни с одним
из корней, поэтому в формуле (15) полагаем к=0 и будем искать частное
решение неоднородного уравнения (17) в виде:
xВxАy 3sin3cos
2
+
=
Найдем
2
y
′
,
2
y
′′
и подставим в уравнение (17):
xВxАy 3cos33sin3
2
+
−
=
′
xВxАy 3sin93cos9
2
−
−
=
′
′
(
)
xxxBxAxВxА 3sin303cos153cos33sin34)3sin93cos9( −
=
+
−
+
−−
Раскроем скобки и перегруппируем, собрав члены, содержащие
x3cos и
x3sin :
()
(
)
xxxABxBA 3sin303cos153sin1233cos129
−
=
−
−
+
+−
Приравняв коэффициенты при
x3cos и x3sin в левой и правой частях
равенства, получим:
⎭
⎬
⎫
−=−−
=+−
30129:3sin
15129:3cos
ABx
BAx
Решая систему, получаем A=1, B=2,
Тогда
xxy 3sin23cos
2
+
=
Следовательно, общее решение уравнения (17):
xxeCCy
x
3sin23cos
4
21
+++=
−

Страницы