Составители:
Рубрика:
298
Если )(
1
xy и )(
2
xy два каких-либо линейно независимых решения урав-
нения
0)()( =+
′
+
′′
yxqyxpy , где pи q – либо функции от x, либо постоянные
величины, то
)()(
2211
xyСxyСy +
=
, где
1
C
и
1
C
- произвольные постоянные,
есть его общее решение, то есть общее решение является линейной комбина-
цией частных решений.
Перейдем теперь к решению уравнения (2).
Чтобы найти его общее решение, достаточно (по теореме) найти два
линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в
виде:
x
ey
λ
= ,
где
λ
- постоянная величина.
Тогда
x
ey
λ
λ
=
′
x
ey
λ
λ
2
=
′′
Подставляя
y
′
и
y
′′
в (2), получим:
0
2
=++
xxx
qeepe
λλλ
λλ
или
0)(
2
=++ qpe
x
λλ
λ
.
Так как
0≠
x
e
λ
ни при каком
λ
, то
0
2
=++ qp
λλ
. (3)
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением уравнения (2).
Для его составления следует в уравнении (2) вместо
y
′′
записать
2
λ
, вместо
y
′
-
λ
, вместо у записать 1. Решая характеристическое уравнение как приве-
денное квадратное уравнение, получим корни
1
λ
и
2
λ
:
q
pp
−+−=
42
2
1
λ
q
pp
−−−=
42
2
2
λ
Равно возможны следующие случаи:
1.
1
λ
и
2
λ
- действительные числа, причем
21
λ
λ
≠
;
2.
1
λ
и
2
λ
- действительные числа, причем
21
λ
λ
=
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 300
- 301
- 302
- 303
- 304
- …
- следующая ›
- последняя »
