Составители:
Рубрика:
62
Если последовательность не является сходящейся, то её называют рас-
ходящейся
.
Последовательность, рассмотренная в примере 17, является сходящей-
ся к числу 1, а последовательность в примере 18 является расходящейся.
Теорема 2. (о единственности предела).
Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что схо-
дящаяся последовательность
{
}
n
a имеет два различных предела a и b .
Пусть для определенности
ba
<
. Выберем число
3
ab −
=
ε
. Так как 0>
ε
, то
верно неравенство
ε
ε
−
<+ ba , а интервалы
(
)
ε
ε
+
−
aa , и
()
ε
ε
+
− bb , не
имеют общих точек (см. рис. 37).
Рис. 37
Так как
n
n
aa
∞→
= lim
, то для выбранного
3
ab
−
=
ε
найдётся номер
(
)
ε
a
N
такой, что для всех номеров
(
)
ε
a
Nn > будет справедливо неравенство
ε
ε
+<<− aaa
n
, то есть
(
)
(
)
ε
ε
ε
an
Nnaaa >
+
−
∈ ,, .
Так как
n
n
ab
∞→
= lim
, то для этого же числа
3
ab
−
=
ε
найдётся номер
(
)
ε
b
N
такой, что для всех номеров
(
)
ε
b
Nn > будет справедливо неравенство
ε
ε
+<<− bab
n
, то есть
(
)
(
)
ε
ε
ε
bn
Nnbba >
+
−
∈ ,, .
Из двух чисел
()
ε
a
N и
(
)
ε
b
N выберем большее
()
(
)
(
){}
ε
ε
ε
ba
NNN ,max= .
Тогда все члены последовательности
{
}
n
a с номерами
()
ε
Nn >
принадлежат
одновременно интервалам
(
)
ε
ε
+
−
aa , и
(
)
ε
ε
+
−
bb , не имеющим общих то-
чек, чего быть не может.
Следовательно, предположение о существовании двух различных пре-
делов у сходящейся последовательности неверно. Таким образом, если по-
ε
−a
ε
+
a
ε
−
b
ε
+
b
a
b
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
