Составители:
Рубрика:
60
3. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и
расходящиеся последовательности
Определение 12. Число
a называется пределом числовой последо-
вательности
{}
n
a , если для любого положительного сколь угодно малого
числа
ε
найдется такое натуральное число
(
)
ε
N , зависящее от
ε
, что для
всех номеров
()
ε
Nn ≥ выполняется неравенство
ε
<− aa
n
(7)
При этом пишут
aa
n
→ при
∞
→n или aa
n
n
=
∞→
lim . Неравенство (7) означает,
что все члены последовательности
{
}
n
a с номерами n большими
()
ε
N
, их бес-
конечно много, находятся в
ε
- окрестности точки a :
(
)
ε
ε
ε
Nnaaa
n
>+<<
−
, ,
а вне
ε
- окрестности точки a находится лишь конечное число первых членов
этой последовательности, причем их не более
(
)
ε
N .
Пример 17. Дана последовательность Nn
n
a
n
∈−= ,
1
1 ; а) доказать, что
число 1 является её пределом; б) при каких
n выполняется неравенство
01,01 <−
n
a ?
Решение. а) Пусть
ε
- какое-нибудь положительное произвольно
выбранное число. Выясним, с какими номерами члены последовательности
{}
n
a попадают в
ε
- окрестность числа 1, для чего решим неравенство
ε
<−1
n
a
. Так как
n
a
n
1
1−=
, то последнее неравенство имеет вид
.1
1
1
ε
<−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
n
Отсюда
ε
<
n
1
и
ε
1
>n
. Следовательно, все члены данной по-
следовательности с номерами
n большими
ε
1
находятся в
ε
- окрестности
числа 1. В качестве
()
ε
N можно выбрать любое натуральное число больше
ε
1
, например,
()
1
1
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ε
ε
N , где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ε
1
- целая часть числа
ε
1
, или любое ещё
большее число.
Таким образом, показано, что для любого положительного числа
ε
найдется номер
()
ε
N такой, что для всех
(
)
ε
Nn > справедливо неравенство
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
