Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

61
ε
<−1
n
a . А это означает по определению предела, что число 1 есть предел
данной последовательности
1
1
1lim =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→
n
n
.
б)
Следует решить неравенство 01,01
<
−
n
a . В данном случае
01,0
=
ε
.
Тогда
()
1
1
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ε
ε
N имеет значение
()
1011
01,0
1
01,0 =+=N
. Отсюда имеем,
что все члены
{}
n
a с номерами 101≥n удовлетворяют неравенству
01,01 <−
n
a , иными словами, отличаются от своего предела не больше, чем
на 0,01.
Замечание. Ясно, что постоянная последовательность
NnCa
n
∈
= , , где
С – константа имеет предел, и он равен С:
CCa
n
n
n
=
=
∞→∞→
limlim
.
Пример 18. Показать, что последовательность
()
()
11
2
1
1
+−⋅=
+n
n
a , Nn
∈
не имеет предела.
Решение. Все члены последовательности
{
}
n
a с нечётными номера-
ми равны 1 и их бесконечно много, а все члены с чётными номерами равны
0, и их тоже бесконечно много. Число 0 не является пределом данной после-
довательности, так как при выборе
ε
, удовлетворяющею условию 10
<
<
ε
,
вне
ε
- окрестности
числа 0 находится бесконечное количество нечётных
членов последовательности, что противоречит определению предела.
Число 1 также не является пределом данной последовательности, так
как при выборе
ε
, удовлетворяющего условию 10
<
<
ε
, вне
ε
- окрестности
числа 1 находится бесконечное количество её чётных членов.
Рассуждая аналогичным образом, можно утверждать, что ни одно дей-
ствительное число не является пределом данной последовательности. Что и
требовалось доказать.
Определение 13. Если последовательность
{
}
n
a имеет предел a , то её
называют
сходящейся и говорят, что последовательность сходится к числу a .

Страницы