Составители:
Рубрика:
63
следовательность сходится, то она имеет единственный предел. Что и требо-
валось доказать.
Определение 14. Если aa
n
n
=
∞→
lim и Nnaa
n
∈
≤
, , то говорят, что после-
довательность
{
}
n
a сходится к числу a слева и пишут 0lim −=
∞→
aa
n
n
.
Определение 15. Если aa
n
n
=
∞→
lim и Nnaa
n
>≥ , , то говорят, что после-
довательность
{
}
n
a сходится к числу a справа и пишут 0lim +=
∞→
aa
n
n
.
Например, последовательность
{
}
n
a , где
Nn
n
a
n
∈−= ,
1
1
, сходится к
числу 1 слева
01lim −=
∞→
n
n
a , так как Nna
n
∈
<
,1 .
Последовательность
{
}
n
b ,
Nn
n
b
n
∈+= ,
1
1
, тоже сходится к числу 1, но
справа
01lim
+
=
∞→
n
n
b , так как Nnb
n
∈
> ,1 .
Последовательность
{
}
n
C ,
(
)
Nn
n
C
n
n
∈
−
+= ,
1
1 , тоже сходится к числу 1:
1lim =
∞→
n
n
C , но члены этой последовательности приближаются к своему преде-
лу, становясь, то больше, то меньше этого предела.
Теорема 3. (необходимый признак сходимости последовательности).
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть сходящаяся последовательность
{}
n
a имеет
предел
a . Докажем, что она ограничена. Выберем произвольно число 0>
ε
.
Тогда по определению предела найдется номер
(
)
ε
N такой, что для всех но-
меров
()
ε
Nn > справедливо неравенство
ε
<− aa
n
, то есть
ε
ε
+
<
<
− aaa
n
для
()
ε
Nn >
. Вне интервала
(
)
ε
ε
+
−
aa ,
могут оказаться лишь
()
ε
N
первых
членов последовательности
{
}
n
a :
()
ε
N
aaa ,,,
21
K .
Найдем наименьшее
m
и наибольшее
M
числа среди чисел
()
ε
N
aaa ,,,
21
K ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
