Составители:
Рубрика:
64
Заметим, что ограниченность последовательности является необходи-
мым, но не достаточным условием сходимости последовательности.
Например, последовательность
(
)
Nna
n
n
∈−=
+
,1
1
хотя и ограничена
20 ≤≤
n
a , но предела не имеет (см. пример 16в).
Приведем без доказательства следующую теорему:
Теорема 4. (Необходимый и достаточный признак сходимости после-
довательности – критерий сходимости Коши).
Последовательность
{
}
n
a сходится тогда и только тогда, когда для лю-
бого
0>
ε
существует такой номер
(
)
ε
N , что для всех номеров
(
)
ε
Nn > и
()
ε
Nm > справедливо неравенство
ε
<−
mn
aa .
(Огюстен Луи Коши (21.08.1789-23.05.1857) – французский матема-
тик).
4. Предел монотонной последовательности. Число
e
Теорема 5. (теорема Вейештрасса, о существовании предела монотон-
ной последовательности).
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (31.10.1815-19.02.1897) - немец-
кий математик).
Доказательство. Пусть последовательность
{}
n
a возрастает и ог-
раничена. Требуется доказать, что она имеет предел. Условие ограниченно-
сти последовательности означает, что множество значений
n
a ограничено и
имеет верхнюю грань (см. §1, теорема 1), обозначим ее
a :
{}
n
Nn
aa
∈
= sup .
Покажем, что
n
n
aa
∞→
= lim . Зафиксируем произвольное число 0>
ε
. Так
как
{}
n
Nn
aa
∈
= sup , то aa
n
≤ для всех
Nn
∈
, но найдется номер
()
ε
N такой, что
()
ε
ε
N
aa <− . Тогда в силу возрастания последовательности
{}
n
a все ее члены с
номерами
(
)
ε
Nn > удовлетворяют неравенству aaa
n
≤
<
−
ε
. Поэтому спра-
ведливо неравенство
ε
<− aa
n
,
(
)
ε
Nn > .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
