Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

66
()
.
1
1
1
2
1
1
1
1
1321
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
321
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
321
1
1
1
1
21
1
2
1
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+⋅⋅
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅⋅
++
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅⋅
++
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+=
+
+
n
n
nnn
n
n
nnn
n
k
nnk
nn
a
n
n
K
K
K
K
K
K
K
K
(10)
Сравним правые части формул (9) и (10). Во-первых, слагаемые в фор-
муле (10), начиная со второго, больше соответствующих слагаемых в форму-
ле (9), так как
1,,2,1,
1
11 −=
+
−<− ni
n
i
n
i
K
.
Во-вторых, в формуле(10) на одно положительное слагаемое больше,
чем в формуле (9). Следовательно, Nnaa
nn
∈
<
+
,
1
и доказано, что последо-
вательность
{}
n
a возрастающая.
Докажем теперь, что она ограничена сверху. Заметим, что в формуле
(9) каждая из скобок вида
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
n
i
1
для 1,,2,1
−
=
ni K меньше числа 1, и
Nk
k
k
∈≤
⋅⋅⋅
−
,
2
1
21
1
1
K
. А тогда справедливо следующее
=++++++<
⋅⋅
++
⋅⋅
++
⋅⋅
+
⋅
+<
−− 112
2
1
2
1
2
1
2
1
2
321
1
321
1
321
1
21
1
2
nk
n
nk
a KK
K
K
K
K
Nn
k
∈<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
−
,3
2
1
12
1
. Здесь
1
1
12
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
−
−
−=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=+++
n
n
n
K сумма
первых
()
1−n членов геометрической прогрессии с первым членом и знаме-
нателем равными
2
1
. Таким образом, доказано, что последовательность (8)
ограничена
Nna
n
∈<< ,32 и возрастающая. В силу теоремы Вейерштрасса 5
она имеет предел. Этот предел обозначают буквой
e :

Страницы