Составители:
Рубрика:
68
0lim
=
∞→
nn
n
b
α
.
Теорема 7. а) Если сходящая последовательность
{}
n
a имеет предел a ,
то ее общий член представим в виде
nn
aa
α
+
=
, где
{
}
n
α
- бесконечно малая
последовательность.
б) Если общий член последовательности
{
}
n
a представим в виде
nn
aa
α
+= , где a - число и
{}
n
α
- бесконечно малая последовательность, то по-
следовательность,
{}
n
a является сходящейся и число a есть ее предел
n
n
aa
∞→
= lim .
Доказательство: а) Пусть
n
n
aa
∞→
=
lim . Докажем, что
nn
aa
α
+
= , где
{}
n
α
-бесконечно малая последовательность.
Так как
n
n
aa
∞→
= lim , то по определению предела для любого числа
0>
ε
найдется номер
()
ε
N такой, что для всех членов последовательности
{
}
n
a с
номерами
(
)
ε
Nn > выполняется неравенство
ε
<− aa
n
. Обозначим aa
nn
−
=
α
,
тогда
εα
<
n
для всех
(
)
ε
Nn > , откуда следует, что 0lim =
∞→
n
n
α
, то есть
{
}
n
α
бес-
конечно малая последовательность. Таким образом,
nn
aa
α
+
=
, что и требова-
лось доказать.
б) Пусть теперь справедливо представление
nn
aa
α
+
=
, где
{}
n
α
беско-
нечно малая последовательность. Покажем, что
n
n
aa
∞→
=
lim .
В силу предположения имеем
aa
nn
−
=
α
. Так как
{
}
n
α
бесконечно малая
последовательность, то
0lim
=
n
α
и для любого числа
0>
ε
найдется номер
()
ε
N
такой, что выполняется неравенство
εα
<
n
для всех
()
ε
Nn >
.
Так как
aa
nn
−
=
α
, то неравенство
ε
<− aa
n
справедливо для всех
(
)
ε
Nn > . А
это означает, что
n
n
aa
∞→
= lim . Что и требовалось доказать.
Теорема 8 (о пределах суммы, произведения и частного последова-
тельностей).
Если последовательности
{
}
n
a и
{
}
n
b сходятся, то:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
