Составители:
Рубрика:
69
а)
()
n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
±=± limlimlim ;
б)
n
n
n
n
nn
n
baba
∞→∞→∞→
⋅=⋅ limlimlim
;
в)
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
∞→
∞→
∞→
=
lim
lim
lim
при Nnb
n
∈
≠
,0 и 0lim
≠
∞→
n
n
b .
Следствие. Если число
c константа, то
n
n
n
n
acac
∞→∞→
⋅
=
⋅
limlim .
Доказательство теоремы опирается на утверждения теорем 7, 8 и
свойства бесконечно малых последовательностей. Предлагаем читателю про-
вести его самостоятельно.
Теорема 9. (о предельном переходе в неравенстве).
Пусть
{}
n
a и
{}
n
b сходящиеся последовательности, и пусть
nn
ba
≤
для
всех номеров
Nn
∈
, тогда справедливо неравенство
n
n
n
n
ba
∞→∞→
≤ limlim .
Следствие: Если сходящаяся последовательность
{}
n
a имеет предел a и
её члены таковы, что справедливо соотношение
NnBaA
n
∈
≤
≤
, , то BaA
≤
≤
.
Теорема 10. (о сжатой переменной).
Пусть даны три последовательности
{
}
n
a ,
{
}
n
b и
{}
n
z , члены которых
связаны соотношением
Nnbza
nnn
∈
≤
≤
, . Если последовательности
{
}
n
a и
{}
n
b сходятся к одному и тому же числу a : aba
n
n
n
n
=
=
∞→∞→
limlim , то последова-
тельность
{}
n
z сходится и её предел тоже равен числу a : az
n
n
=
∞→
lim .
Теорема 11. Отбрасывание или замена конечного числа членов после-
довательности какими-нибудь числами не влияет на её сходимость, причём в
случае сходимости последовательности не влияет и на величину предела.
Пример 20. Найти следующие пределы: а)
;
5
4lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
n
n
б) ;
5
4
1
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅
∞→
nn
n
в)
;
37
32
lim
n
n
n
−
−
∞→
−
+
г)
n
n
n
52
53
lim
−
+
∞→
.
Решение: а) Так как
44lim
=
∞→n
и
0
5
lim =
∞→
n
n
, то в силу теоремы 8а (о пре-
деле суммы последовательностей) имеем
404
5
lim4lim
5
4lim =+=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→∞→∞→
nn
nnn
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
