Составители:
Рубрика:
71
6. Бесконечно большие последовательности и их связь с
бесконечно малыми последовательностями
Определение 18.
Последовательность
{
}
n
a называют бесконечно
большой
, если для любого положительного сколь угодно большого числа
M
, найдется номер
()
MN , зависящий от
M
, такой, что для всех членов
последовательности
{}
n
a с номерами
(
)
MNn > справедливо неравенство
Ma
n
>
, и пишут ∞→
n
a или
∞
=
∞→
n
n
alim . В этом случае говорят, что после-
довательность стремится в бесконечность или последовательность имеет
бесконечный предел. Например, последовательности:
Nnna
n
∈= ,
3
,
Nnnb
n
∈−= ,
3
и
()
Nnnc
n
n
∈⋅−= ,1
3
являются бесконечно большими. Дей-
ствительно, с ростом номера
n значения членов последовательности
{
}
n
a
неограниченно растут. Какое бы число
0>M , сколь угодно большое, ни
взять, неравенство
Mna
n
>=
3
будет выполняться для всех
[
]
1
3
+> Mn .
Здесь
[
]
3
M
- целая часть числа
3
M и
(
)
[
]
1
3
+= MMN
. А так как
nnn
cba == , то утверждение справедливо и для последовательностей
{
}
n
b
и
{}
n
c . Можно записать ,,, ∞→
−
∞→
+
∞→
nnn
cba так как
.0,0 Nnba
nn
∈<> Заметим, что бесконечно большая последовательность
является неограниченной. Обратное утверждение в общем случае неверно,
то есть не всякая неограниченная последовательность является бесконечно
большой. Например, последовательность
{
}
n
a , где
()
(
)
1
3
11
+
−+=
n
n
na , неог-
раниченная, но не является бесконечно большой:
⎩
⎨
⎧
=
чётноеnесли
нечётноеnеслиn
a
n
,0
,2
3
.
Члены с нечетными номерами неограниченно растут с увеличением
номеров, а члены с чётными номерами равны нулю. Поэтому, какое бы
число
0>M ни взять, найти номер
(
)
MN такой, чтобы выполнялось нера-
венство
Ma
n
> для всех
(
)
MNn > , невозможно.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
