Составители:
Рубрика:
72
Теорема 12 (о связи бесконечно большой и бесконечно малой по-
следовательностей).
а) Если последовательность
{
}
n
a бесконечно большая, то последова-
тельность обратная ей
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
a
1
бесконечно малая.
б) Если последовательность
{
}
Nnbb
nn
∈
≠
,0, бесконечно малая, то
последовательность обратная ей
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
b
1
бесконечно большая.
Доказательство: проведем его для случая а. Так как последова-
тельность
{}
n
a бесконечно большая, то для любого 0>M найдется номер
()
MN такой, что справедливо неравенство Ma
n
> для всех
()
MNn > .
Положим, что
M
1
=
ε
. Тогда верно следующее:
()
MNn
Maa
nn
>=<= ,
111
ε
.
Так как
ε
1
=M
, то номер
(
)
MN можно считать зависящим от
ε
, и
вместо неравенства
()
MNn >
писать неравенство
(
)
ε
Nn >
.
В силу произвольного выбора числа
0>M произвольным является и
число
ε
. Таким образом, по любому
0>
ε
найдется номер
()
ε
N такой, что
выполняется неравенство
()
εε
Nn
a
n
>< ,
1
, следовательно 0
1
lim =
∞→
n
n
a
. А это
означает, что последовательность
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
a
1
бесконечно малая. Теорема доказа-
на.
Справедливы следующие утверждения:
1) Сумма двух бесконечно больших последовательностей, имеющих,
начиная с некоторого номера, члены одного знака, есть бесконечно боль-
шая последовательность, причём
а) если
+∞→
n
a и
+
∞→
n
b , то
+
∞→
+
nn
ba ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
