Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

65
Итак, для произвольно выбранного числа 0>
ε
, найдется номер
(
)
ε
N
такой, что все члены последовательности
{
}
n
a с номерами
()
ε
Nn > удовле-
творяют неравенству
ε
<− aa
n
,
(
)
ε
Nn >
. Это означает по определению 12
предела последовательности, что
n
n
aa
∞→
=
lim , что и требовалось доказать.
Аналогичное доказательство можно провести для убывающей ограни-
ченной последовательности.
Пример 19. (Замечательный предел). Дана последовательность
{
}
n
a ,
где
Nn
n
a
n
n
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= ,
1
1
. Доказать, что она сходящаяся.
Решение. Покажем, что последовательность
KNn
n
a
n
n
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= ,
1
1
(8)
возрастающая и ограниченная. Используя формулу бинома Ньютона для воз-
ведения двучлена в натуральную степень
n
()
()
2
21
1
11
ααα
⋅
−
+⋅+=+
nn
n
n
(
)
(
)
(
)
+
⋅⋅
+
−
−
⋅
−
++
k
k
knnnn
α
K
K
K
321
121
()( )
,
321
1221
n
n
nnn
α
K
K
K
⋅⋅
⋅−⋅−
++
имеем
()
(
)
(
)
(
)
()( )
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅−−
++
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+−−−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
+⋅+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
n
k
nnknnn
nnn
nk
knnnn
n
nn
n
n
n
a
n
kn
n
1
1
2
1
1
1
21
11
1
21
1
2
1
21
1221
1
21
121
1
21
1
1
1
1
1
2
K
K
K
K
K
K
K
K
K
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅
++
n
n
nnn
1
1
2
1
1
1
321
1
K
K
K
(9)
Каждое слагаемое в формуле (9) положительное, поэтому Nna
n
∈
> ,2 .
Аналогично запишем
1+n
a :

Страницы