Составители:
Рубрика:
58
Пример 16. Являются ли монотонными следующие последовательно-
сти? Определите характер монотонности. Являются ли данные последова-
тельности ограниченными: а)
Nn
n
a
n
∈−= ,
1
4 ; б)
(
)
Nn
n
a
n
n
∈
−
= ,
1
;
в)
()
Nna
n
n
∈+−=
+
,11
1
; г) Nn
n
na
n
∈⋅= ,
2
sin
π
?
Решение: а)
Nn
n
a
n
∈−= ,
1
4
. Покажем, что последовательность
{
}
n
a
возрастающая, для чего сравним два последовательных члена
n -ый и
(
)
1
+
n -
ый:
n
a
n
1
4 −=
и
1
1
4
1
+
−=
+
n
a
n
. Так как
1
11
+
>
nn
для всех Nn
∈
, то
1
1
4
1
4
+
−<−
nn
, а это означает, что Nnaa
nn
∈
<
+
,
1
, то есть с ростом номера
растут значения членов последовательности, приближаясь при этом к числу
4, но не превышая его (см. рис. 36а):
LL ,
1
4;;
5
4
3;
4
3
3;
3
2
3;
2
1
3;3
n
−
. Последова-
тельность является ограниченной и сверху и снизу, так как
Nn
n
∈<−≤ ,4
1
43 .
Следовательно, она ограничена. В силу замечания 3 можно записать
Nna
n
∈≤ ,4 .
б) Последовательность
(
)
Nn
n
a
n
n
∈
−
= ,
1
не является монотонной, так
как все ее члены с чётными номерами положительные, а с нечётными номе-
рами отрицательные. Поэтому, каждый член последовательности с нечётным
номером имеет значение меньше, чем следующий за ним, а каждый член с
чётным номером имеет значение больше, чем следующий за ним (см. рис. 36б):
(
)
LL ,
1
,,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
n
−
−−
. Последовательность
{
}
n
a является ограниченной, так
как
()
Nn
nn
a
n
n
∈≤=
−
= ,1
11
.
в) Последовательность
(
)
Nna
n
n
∈+−=
+
,11
1
такова, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
