Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

57
которой принимают одно и то же значение называют постоянной последова-
тельностью
Nnca
n
∈
=
, , где c некоторое число.
Определение 11. Последовательность
{
}
n
a называют ограниченной,
если существует такое положительное число
K
, что для всех Nn ∈ справед-
ливо неравенство
Ka
n
≤ .
В противном случае последовательность называют неограниченной.
Например, последовательность
Nn
n
a
n
∈= ,
2
sin
π
является ограничен-
ной, так как
1
2
sin ≤=
n
a
n
π
для всех Nn
∈
; нашлось число 1=
K
, такое что
Nna
n
∈≤ ,1 . Последовательность
Nn
n
nb
n
∈+= ,
1
2
2
является неограничен-
ной, так как
2
2
2
1
n
n
nb
n
>+=
для всех n , а
2
n растет неограниченно с рос-
том
n .
Замечание 1. Можно говорить о последовательности
{}
n
a ограничен-
ной снизу, если
Nnam
n
∈
≤ , , m - число, или ограниченной сверху, если
NnMa
n
∈≤ , ,
M
-число.
Замечание 2. Если последовательность
{
}
n
a ограниченна, то она огра-
ничена и сверху и снизу одновременно. Действительно, так как
Ka
n
≤ ,
то
NnKaK
n
∈≤≤− , и, следовательно KMKm
=
−
=
, .
Замечание 3. Если последовательность
{
}
n
a ограниченна и снизу и
сверху одновременно, то она ограничена. Действительно, так как
NnMam
n
∈≤≤ , , то справедливо неравенство: Ka
n
≤ , где
K
равно наи-
большему из чисел
m и M .
Замечание 4. Если последовательность
{
}
n
a ограничена
()
NnKa
n
∈≤ ,
то все ее члены находятся на отрезке
]
KK ;
−
числовой оси.

Страницы