Математика. Александрова Р.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

–
30
–
Пример2.
Дан треугольник A(3; 1), B(4; 5), C(-2; 0), составить уравнения:
1) Стороны AB.
2) Медианы AM.
3) Высоты BK.
Решение.
1) Сторона AB проходит через точки A(3; 1) и B(4; 5), поэтому используем уравнение
прямой, проходящей через две точки A и B: A(3; 1) и B(4; 5)
⇒
xx
xx
yy
yy
−
−
=
−
−
1
21
1
21
⇒
xy−
−
=
−
−
3
43
1
51
⇒
xy−
=
−3
1
1
4
⇒ 4 ( x -3 ) = y - 1,
откуда AB: 4 x - у - 11 = 0.
2) Медиана AM проходит через две точки A(3; 1) и M(x, y), где M -точка середины
отрезка BC. Поэтому
x =
42
2
1
+−
=
()
, y =
50
2
5
2
+
=
.
Составляем уравнение прямой AM, проходящей через точки A(3; 1) и M(1,
5
2
):
AM:
xy−
−
=
−
−
3
13
1
1
5
2
⇒
xy−
−
=
−
−
3
2
21
52
( )
⇒
xy−
−
=
−
3
2
22
3
⇒ 3 ( x - 3 ) = -2 ( 2 y - 2 ) ⇒
3 x - 9 = -4 y + 4
⇒ AM: 3 x + 4 y - 13 = 0.
3) Высота BK проходит через точку B(4; 5) перпендикулярно прямой AC.
а) Составляем уравнение прямой AC и находим ее угловой коэффициент k
1
.
б) Находим угловой коэффициент k
2
прямой BK, перпендикулярной прямой AC, по
формуле
k
k
1
2
=−
1
.
в) Составляем уравнение прямой BK, проходящей через точку B(4; 5) с угловым ко-
эффициентом k
2
:
1) AC:
xy−
−−
=
−
−
3
23
1
01
⇒
xy−
−
=
−
−
3
5
1
1
xy−
=
−3
5
1
1
⇒ x - 3 = 5 ( y - 1 ) ⇒ x - 3 = 5 y - 5,
AC: y =
x
5
2
5
+
, k
1
=
1
5
2) k
2
= - 5.
3) BK: y - 5 = -5 ( x - 4 )
⇒ y - 5 = -5 x + 20 5 x + y - 25 = 0, ⇒ BK: 5 x + y -25 = 0.
§ 14.Вычисление площадей и объемов.
78.
Площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле S = a
2
. Площадь прямо-
угольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S = a
⋅ b.
79. Объем куба с ребром a вычисляется по формуле V = a
3
, площадь поверхности ку-
ба вычисляется по формуле S = 6
⋅a
2
.
80. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c вы-
числяется по формуле S = 2
⋅c⋅( a + b) + 2⋅a⋅b. Объем вычисляется по формуле V = a⋅b⋅c.
81. Диагональным сечением параллелепипеда (куба) называется сечение, образован-
ное двумя противоположными боковыми ребрами и двумя диагоналями оснований, соеди-
няющими концы этих ребер. 
Пример2.
     Дан треугольник A(3; 1), B(4; 5), C(-2; 0), составить уравнения:
           1) Стороны AB.
           2) Медианы AM.
           3) Высоты BK.
Решение.
      1) Сторона AB проходит через точки A(3; 1) и B(4; 5), поэтому используем уравнение
прямой, проходящей через две точки A и B: A(3; 1) и B(4; 5) ⇒
             x − x1     y − y1   x − 3 y −1          x − 3 y −1
                     =         ⇒       =         ⇒         =     ⇒ 4 ( x -3 ) = y - 1,
            x 2 − x1 y 2 − y1    4 − 3 5−1             1      4
откуда AB: 4 x - у - 11 = 0.
      2) Медиана AM проходит через две точки A(3; 1) и M(x, y), где M -точка середины
отрезка BC. Поэтому
                                   4 + ( −2 )           5+ 0 5
                               x=             = 1, y =       = .
                                       2                 2     2
                                                                                    5
Составляем уравнение прямой AM, проходящей через точки A(3; 1) и M(1, ):
                                                                                    2
      x − 3 y −1   x − 3 2( y − 1)   x − 3 2y − 2
AM:        =     ⇒      =          ⇒      =       ⇒ 3 ( x - 3 ) = -2 ( 2 y - 2 ) ⇒
      1− 3 5        −2    5− 2        −2     3
              −1
              2
3 x - 9 = -4 y + 4 ⇒ AM: 3 x + 4 y - 13 = 0.
        3) Высота BK проходит через точку B(4; 5) перпендикулярно прямой AC.
        а) Составляем уравнение прямой AC и находим ее угловой коэффициент k1.
        б) Находим угловой коэффициент k2 прямой BK, перпендикулярной прямой AC, по
                   1
формуле k 1 = −       .
                   k2
        в) Составляем уравнение прямой BK, проходящей через точку B(4; 5) с угловым ко-
эффициентом k2:
          x−3      y −1      x − 3 y −1 x − 3 y −1
1) AC:          =        ⇒         =            =        ⇒ x - 3 = 5 ( y - 1 ) ⇒ x - 3 = 5 y - 5,
         − 2 − 3 0−1          −5      −1 5          1
          x 2          1
AC: y = + , k1 =
          5 5          5
2) k2 = - 5.
3) BK: y - 5 = -5 ( x - 4 ) ⇒ y - 5 = -5 x + 20 5 x + y - 25 = 0, ⇒ BK: 5 x + y -25 = 0.

                            § 14.Вычисление площадей и объемов.

         78. Площадь квадрата со стороной a вычисляется по формуле S = a2. Площадь прямо-
угольника со сторонами a и b вычисляется по формуле S = a ⋅ b.
         79. Объем куба с ребром a вычисляется по формуле V = a3, площадь поверхности ку-
ба вычисляется по формуле S = 6⋅a2.
         80. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c вы-
числяется по формуле S = 2⋅c⋅( a + b) + 2⋅a⋅b. Объем вычисляется по формуле V = a⋅b⋅c.
      81. Диагональным сечением параллелепипеда (куба) называется сечение, образован-
ное двумя противоположными боковыми ребрами и двумя диагоналями оснований, соеди-
няющими концы этих ребер.

                                                 – 30 –

Страницы