Математика. Александрова Р.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

–
28
–
а) А x + В y + С = 0 - уравнение прямой в общем виде,
б) y = k x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом,
в)
xy
a
+
b
=1
- уравнение прямой в отрезках,
г) y - y
1
= k ( x - x
1
) - уравнение прямой, проходящей через точку M
1
(x
1
; y
1
) в направ-
лении заданного углового коэффициента к,
д)
xx
xx
yy
yy
−
−
=
−
−
1
21
1
21
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
M
1
(x
1
; y
1
) и M
2
(x
2
; y
2
).
73. Уравнение прямой l можно преобразовать из одного вида в другой.
Пример1.
Уравнение прямой А x + В y + С = 0 привести к уравнению (а) прямой в отрезках и к
уравнению (б) прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Пусть l: 2 x + 3 y + 8 = 0.
а) 2 x + 3 y + 8 = 0
⇒ 2 x + 3 y = - 8 ⇒
2
8
3
8
1
xy
−
+
−
=
⇒
xy
−−
+=
8
2
8
3
1 ⇒
xy
−
+=
−
4
1
8
3
;
где a = -4 - это отрезок, отсекаемый прямой l от оси ОХ, считая от начала координат; b =
−
8
3
- это отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат.
б) 2 x + 3 y + 8 = 0
⇒ 3 y = -2 x - 8 ⇒ y = −
2
3
x −
8
3
, где k = −
2
3
- это угловой коэффи-
циент прямой l, b =
−
8
3
- это отрезок , отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала ко-
ординат.
Пример2.
Уравнение прямой
xy
a
+
b
=1
привести к уравнению (а) прямой в общем виде и урав-
нению (б) прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
Пусть l:
xy
3
+
8
=1
.
а)
xy
3
+
8
=1
⇒
xy
3
+
8
-1= 0
⇒ 8 x + 3 y - 24 = 0.
б)
xy
3
+
8
=1
⇒
yx
8
=-
3
+1
⇒ y =
−
8
3
x + 8, где k =
−
8
3
- угловой коэффициент прямой
l, b = 8 -отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат.
Пример3.
Составить уравнение прямой l, проходящей через точку M(2; -3) с угловым коэффи-
циентом, равным угловому коэффициенту прямой m:3 x - 4 y + 5 = 0.
Решение.
а) Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку M(2; -3):
y - y
1
= k ( x - x
1
) ⇒ l: y + 3 = k ( x - 2 ). 
       а) А x + В y + С = 0 - уравнение прямой в общем виде,
       б) y = k x + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом,
           x y
       в) + = 1 - уравнение прямой в отрезках,
           a b
       г) y - y1 = k ( x - x1 ) - уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) в направ-
лении заданного углового коэффициента к,
             x − x1     y − y1
       д)           =             - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
            x 2 − x1 y 2 − y1
M1(x1; y1) и M2(x2; y2).
      73. Уравнение прямой l можно преобразовать из одного вида в другой.
Пример1.
      Уравнение прямой А x + В y + С = 0 привести к уравнению (а) прямой в отрезках и к
уравнению (б) прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
     Пусть l: 2 x + 3 y + 8 = 0.
                                                  2x 3y      x    y       x    y
      а) 2 x + 3 y + 8 = 0 ⇒ 2 x + 3 y = - 8 ⇒      +   =1 ⇒    +    =1 ⇒    +    = 1;
                                                  −8 −8       8    8      −4    8
                                                                                −        −                  −
                                                                                    2        3                  3
                                                                                                                        8
где a = -4 - это отрезок, отсекаемый прямой l от оси ОХ, считая от начала координат; b =                            −
                                                                                                                        3
- это отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат.
                                                             2           8                   2
      б) 2 x + 3 y + 8 = 0 ⇒ 3 y = -2 x - 8 ⇒ y =        −       x   −       , где k =   −       - это угловой коэффи-
                                                             3           3                   3
                          8
циент прямой l, b =   −       - это отрезок , отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала ко-
                          3
ординат.
Пример2.
                         x y
      Уравнение прямой     + = 1 привести к уравнению (а) прямой в общем виде и урав-
                         a b
нению (б) прямой с угловым коэффициентом.
Решение.
                 x y
      Пусть l:      + = 1.
                  3 8
            x y          x y
        а) + = 1 ⇒ + -1 = 0 ⇒ 8 x + 3 y - 24 = 0.
            3 8          3 8
            x y          y   x             8                8
        б) + = 1 ⇒ = - + 1 ⇒ y = − x + 8, где k = − - угловой коэффициент прямой
            3 8          8   3             3                3
l, b = 8 -отрезок, отсекаемый прямой l от оси OY, считая от начала координат.
Пример3.
      Составить уравнение прямой l, проходящей через точку M(2; -3) с угловым коэффи-
циентом, равным угловому коэффициенту прямой m:3 x - 4 y + 5 = 0.
Решение.
     а) Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку M(2; -3):
     y - y1 = k ( x - x1 ) ⇒ l: y + 3 = k ( x - 2 ).



                                                – 28 –

Страницы