Математика. Александрова Р.А. - 26 стр.

      62. Пусть f(x) и g(x) - два выражения с переменной x, если соединить их знаками ра-
венства (=) или неравенства (>,<), то получим равенство или неравенства с переменной.
Пример.
     3 x + 6 = 8 x - 2; 3 x + 4 < 2 x + 5.
       63. Предикат вида f(x) = g(x), x ∈ X, называется уравнением с одной переменной на
числовом множестве X. Множество истинности T этого предиката называется множеством
решений уравнения. Решить уравнение - это значит найти его множество истинности T.
Квадратное уравнение a⋅x2 + b⋅x + c = 0 решается по формуле:
                                                     − b ± b 2 − 4ac
                                          x 1, 2 =
                                                           2a
Пример.
                                      5 ± 25 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −12 ) 5 ± 11
       2x 2 − 5x − 12 = 0, x 1, 2 =                           =
                                             2⋅2                 4
                        3                               3
       x 1 = 4; x 2 = − ;              Ответ: { 4, −        }.
                        2                               2


       64. Если в уравнении f(x) = g(x) множество истинности T совпадает с областью опре-
деления X, то уравнение становится тождеством.
Пример.
     ( x + 3 )2 = x2 + 6 x + 9.
       65. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x), заданного на множестве X, прибавить
выражение h(x), определенное на этом же множестве X, то получим уравнение, равносиль-
ное данному.
       Обозначается: ( f(x) = g(x) ) ⇔ ( f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ).
Пример.
     Решить уравнение: 3 x + 3 = 8 x - 2.
Решение.
     а) Прибавим к обеим частям уравнения выражение h(x) = ( -8 x - 3):
                       3 x + 3 + ( -8 x - 3 ) = 8 x - 2 + ( -8 x - 3 ).
     б) Используя тождественные преобразования выражений, получим:
                       ( 3 x - 8 x ) + ( 3 - 3 ) = ( 8 x - 8 x ) - 2 - 3.
     в) Проведя вычисления, получим: - 5 x = -5 или x = 1.
       66. На базе сформулированной теоремы основан прием переноса членов уравнения из
одной части уравнения в другую.
       67. Если обе части уравнения f(x) = g(x), заданного на множестве X, умножить на вы-
ражение h(x) ≠ 0, имеющее численное значение на X, то получим уравнение, равносильное
данному.
      Обозначается: ( f(x) = g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) = g(x) h(x) ).
Пример.
      При решении предыдущего уравнения обе части уравнения -5 x = -5 умножили на
        1      ⎛ 1⎞        ⎛ 1⎞
число − : 5x ⋅ ⎜ − ⎟ = 5 ⋅ ⎜ − ⎟ , х =1.
        5      ⎝ 5⎠        ⎝ 5⎠




                                                      – 26 –