Математика. Александрова Р.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

–
27
–
68. Предикат вида f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) ), x ∈ X, называется неравенством одной пе-
ременной на числовом множестве X. Множество T истинности этого предиката называется
множеством решений неравенства. Решить неравенство - это значит найти его множество ис-
тинности T.
69. Если к обеим частям неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве
X, прибавить выражение h(x), заданное на этом же множестве X и имеющее на нем числен-
ное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла.
Обозначается: ( f(x) > g(x) )
⇔ ( f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ) или ( f(x) > g(x)) ⇔ ( f(x) +
h(x) > g(x) + h(x) ).
Пример.
Решить неравенство: 2 x - 2 > x + 4.
Решение.
а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = 2 - x:
2 x - 2 + ( 2 - x ) > x + 4 + ( 2 - x ).
б) Используя тождественные преобразования выражений, получим:
2 x - x -2 + 2 > x - x +4 + 2.
в) После вычислений имеем: x > 6.
70. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве X,
умножить на выражение h(x) > 0, определенное на этом же множестве X и имеющее числен-
ное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла.
Обозначается: ( f(x) < g(x) )
⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) >
g(x) h(x) ).
Пример.
Решить неравенство: 6 x < 12.
Решение.
Умножим обе части неравенства на число
1
6
>0: 6 x ⋅
1
6
< 12 ⋅
1
6
, откуда x < 2.
71. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ),заданного на множестве X,
умножить на выражение h(x) < 0, определенное на этом же множестве X, то получим равно-
сильное неравенство противоположного смысла.
Обозначается: ( f(x) > g(x) )
⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) < g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) >
g(x) h(x) ).
Пример.
Решить неравенство: 8 x + 4 < 10 x - 6.
Решение.
а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = - 4 - 10 x,
8 x + 4 + ( -4 - 10 x ) < 10 x - 6 + ( -4 - 10 x ).
б) Используя тождественные преобразования, имеем -2 x < -10.
в) Умножим обе части неравенства на число a =
−
1
2
:
-2 x (
−
1
2
) > -10 (
−
1
2
), откуда x > 5.
§ 13. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
72.
Уравнение прямой l на плоскости может быть записано различными способами: 
      68. Предикат вида f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) ), x ∈ X, называется неравенством одной пе-
ременной на числовом множестве X. Множество T истинности этого предиката называется
множеством решений неравенства. Решить неравенство - это значит найти его множество ис-
тинности T.
       69. Если к обеим частям неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве
X, прибавить выражение h(x), заданное на этом же множестве X и имеющее на нем числен-
ное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла.
       Обозначается: ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ) или ( f(x) > g(x)) ⇔ ( f(x) +
h(x) > g(x) + h(x) ).
Пример.
     Решить неравенство: 2 x - 2 > x + 4.
Решение.
     а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = 2 - x:
                           2 x - 2 + ( 2 - x ) > x + 4 + ( 2 - x ).
     б) Используя тождественные преобразования выражений, получим:
                               2 x - x -2 + 2 > x - x +4 + 2.
     в) После вычислений имеем: x > 6.
       70. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ), заданного на множестве X,
умножить на выражение h(x) > 0, определенное на этом же множестве X и имеющее числен-
ное значение, то получим равносильное неравенство того же смысла.
       Обозначается: ( f(x) < g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) >
g(x) h(x) ).
Пример.
     Решить неравенство: 6 x < 12.
Решение.
                                                       1               1         1
       Умножим обе части неравенства на число              >0: 6 x ⋅       < 12 ⋅ , откуда x < 2.
                                                       6               6         6

       71. Если обе части неравенства f(x) < g(x) ( f(x) > g(x) ),заданного на множестве X,
умножить на выражение h(x) < 0, определенное на этом же множестве X, то получим равно-
сильное неравенство противоположного смысла.
       Обозначается: ( f(x) > g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) < g(x) h(x) ) или ( f(x) < g(x) ) ⇔ ( f(x) h(x) >
g(x) h(x) ).
Пример.
     Решить неравенство: 8 x + 4 < 10 x - 6.
Решение.
     а) Прибавим к обеим частям неравенства выражение h(x) = - 4 - 10 x,
                      8 x + 4 + ( -4 - 10 x ) < 10 x - 6 + ( -4 - 10 x ).
     б) Используя тождественные преобразования, имеем -2 x < -10.
                                                                 1
       в) Умножим обе части неравенства на число a = − :
                                                                 2
                                       1           1
                               -2 x ( − ) > -10 ( − ), откуда x > 5.
                                       2           2


               § 13. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

       72. Уравнение прямой l на плоскости может быть записано различными способами:

                                              – 27 –

Страницы