Классические методы математической физики - 10 стр.

èçèêè, ãäå ìîæíî íàéòè êàê âûâîä îñíîâíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé
èçèêè, òàê è ïðèìåíåíèå àáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ íà-
õîæäåíèÿ ðåøåíèé êðàåâûõ è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé,
à òàêæå èçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîñòðîåííûõ ðåøåíèé. È òî, è äðóãîå,
è òðåòüå ñîñòàâëÿåò îñíîâû ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
   Íà îñíîâå èäåîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íàïèñàí è íàñòî-
ÿùèé ó÷åáíèê. Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå îí ñîñòîèò èç ñåìè ãëàâ.  ïåðâîé ãëà-
âå ïðèâîäèòñÿ âûâîä ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, îïè-
ñûâàåìûõ êàê îáûêíîâåííûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, òàê è
óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ê íèì îòíîñÿòñÿ ìîäåëè äâèæåíèÿ
òî÷êè è îáðàùåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà, ìîäåëè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ,
ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè è äèóçèè, ïðîöåññîâ äâèæåíèÿ æèäêîñòåé
è ãàçîâ, ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ðàñïðîñòðà-
íåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé â ïðîâîäàõ, ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ïðî-
ñòðàíñòâå è åùå ðÿä äðóãèõ ìîäåëåé.
   Áîëüøîå âíèìàíèå â ýòîé ãëàâå óäåëÿåòñÿ ïîñòàíîâêå è àíàëèçó äîïîë-
íèòåëüíûõ óñëîâèé, ñëóæàùèõ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè.  ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ, ò. å. ïðîöåñ-
ñîâ, íå çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè, ê íèì îòíîñÿòñÿ êðàåâûå óñëîâèÿ, çàäà-
âàåìûå íà ãðàíèöå ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè, à òàêæå óñëîâèÿ íà áåñêî-
íå÷íîñòè äëÿ íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè. Íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
îðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå òèïû êðàåâûõ çàäà÷: Äèðèõëå, Íåéìàíà, òðåòüÿ
êðàåâàÿ çàäà÷à è ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Ïðè ðàññìîòðåíèè íåñòàöèî-
íàðíûõ ïðîöåññîâ ïåðåíîñà òåïëà èëè âåùåñòâà ⠟ 4 ëèáî ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëí ⠟ 6 ââîäÿòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ñëóæàùèå âìåñòå ñ êðàåâûìè óñëî-
âèÿìè äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ. Ïðè ðàññìîòðåíèè ãàðìîíè-
÷åñêèõ çâóêîâûõ ïðîöåññîâ ⠟ 6 ïðèâîäÿòñÿ äðóãèå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå â
ïðèêëàäíîé àêóñòèêå çàäà÷è. Ê íèì îòíîñÿòñÿ: çàäà÷à èçëó÷åíèÿ è çàäà÷à
äèðàêöèè (èëè ðàññåÿíèÿ). Ïðè ðàññìîòðåíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåñ-
ñîâ ⠟ 7 íàðÿäó ñ ââåäåííûìè âûøå çàäà÷àìè ðàññìàòðèâàþòñÿ åùå äâå
ñïåöèàëüíûå çàäà÷è: ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ êðàåâûå çàäà÷è, èãðàþ-
ùèå âàæíóþ ðîëü â ýëåêòðîñòàòèêå è ìàãíèòîñòàòèêå. Îáñóæäàåòñÿ õàðàê-
òåðíàÿ íååäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé óêàçàííûõ çàäà÷, âûçâàííàÿ íåñâÿçíî-
ñòüþ ãðàíèöû ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè â ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîé çàäà÷è, è
íåîäíîñâÿçíîñòüþ îáëàñòè äëÿ ìàãíèòíîé çàäà÷è.
    ãë. 2 èçëàãàþòñÿ ýëåìåíòû êëàññèèêàöèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà è äåòàëüíî îáñóæäàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿ-
òèå êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è êàê çàäà÷è, ðåøåíèå
êîòîðîé ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è óñòîé÷èâî, ò. å. íåïðåðûâíî çàâèñèò îò
èñõîäíûõ äàííûõ. Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå äè-
åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçáèòü íà òðè òèïà:
ýëëèïòè÷åñêèé, ïàðàáîëè÷åñêèé è ãèïåðáîëè÷åñêèé. Ïðîñòåéøèìè ïðåä-

                                   10