Классические методы математической физики - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

−∆u = f,
∂u
∂t
= a
2
∆u + f,
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∆u + f.
∂u
∂t
+ a · gradu = f, a · g radu = f, a = (a, b, c),
R
n
n =
1, 2, 3
R
n
R
n
ñòàâèòåëÿìè êàæäîãî èç ýòèõ òèïîâ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ: óðàâíåíèå Ïóàñ-
ñîíà, óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è âîëíîâîå óðàâíåíèå, èìåþùèå ñîîò-
âåòñòâåííî âèä
                         ∂u              ∂ 2u
              −∆u = f,      = a2 ∆u + f,    2
                                              = a2 ∆u + f.
                         ∂t              ∂t
Óêàçàííûå óðàâíåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè ìàòå-
ìàòè÷åñêîé èçèêè. Ââîäèòñÿ óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòèêè
óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà, èçó÷àåòñÿ åå ðîëü
ñ òî÷êè çðåíèÿ êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êîøè,
ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû õàðàêòåðèñòèê. Îòäåëüíûé ïàðàãðà ïîñâÿùàåòñÿ èçó-
÷åíèþ ñâîéñòâ ðåøåíèé óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêà
âèäà
                ∂u
                   + a · gradu = f, a · gradu = f, a = (a, b, c),
                ∂t
îïèñûâàþùèõ ïåðåíîñ â ñðåäå êàêîé-ëèáî èçè÷åñêîé âåëè÷èíû âñëåä-
ñòâèå êîíâåêöèè. Îñíîâíîå âíèìàíèå â í¼ì óäåëÿåòñÿ èçëîæåíèþ ìåòîäà
õàðàêòåðèñòèê ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ è äåòàëüíîìó îáñóæäå-
íèþ äâóõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé:
ìåòîäó ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ è ìåòîäó, îñíîâàííîìó íà ïðèíöèïå ìàê-
ñèìóìà.
     ãë. 3 èçëàãàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðî-
öåññîâ è âîëíîâûõ óðàâíåíèé â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå Rn , n =
1, 2, 3. Èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà ÷àñòíûõ ðåøåíèé âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â Rn ,
îðìóëèðóåòñÿ çàäà÷à Êîøè, äîêàçûâàþòñÿ ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü
è óñòîé÷èâîñòü åå ðåøåíèÿ, âûâîäÿòñÿ ÿâíûå îðìóëû (Äàëàìáåðà, Ïóàñ-
ñîíà, Êèðõãîà) äëÿ ðåøåíèÿ, ââîäèòñÿ óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå âîëíû,
è íà îñíîâå ýòîãî ïðèâîäèòñÿ äåòàëüíûé èçè÷åñêèé àíàëèç ïîëó÷åííûõ
ðåøåíèé. Ïóò¼ì ñðàâíåíèÿ îðìóë Êèðõãîà è Ïóàññîíà äåëàåòñÿ âûâîä
î çíà÷èòåëüíîì îòëè÷èè â ïðîòåêàíèè âîëíîâîãî ïðîöåññà â òð¼õìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï þé-
ãåíñà, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñÿêîå íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå, ëîêàëèçîâàííîå â
ïðîñòðàíñòâå, âûçûâàåò â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèå, ëîêàëèçî-
âàííîå ïî âðåìåíè. Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû ñ ÷¼òêî
âûðàæåííûìè ïåðåäíèì è çàäíèì ðîíòàìè. Â òî æå âðåìÿ íà ïëîñêî-
ñòè ïðîèñõîäèò íàðóøåíèå óêàçàííîãî ïðèíöèïà. Äà¼òñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå
è èçè÷åñêîå îáúÿñíåíèå ýòîìó àêòó.
     ãë. 4 âîëíîâîå óðàâíåíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà Rn , ëèáî åå âíåøíîñòè, à äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä Ôóðüå. Õîðîøî èç-
âåñòíî, ÷òî óñïåõ â ïðèìåíåíèè ìåòîäà Ôóðüå îñíîâûâàåòñÿ íà âîçìîæíî-
ñòè ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â äèåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè è ñîîòâåòñòâó-

                                   11

Страницы