Классические методы математической физики - 13 стр.

øàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà è îðìóë ðèíà
äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé óêàçàííûõ
çàäà÷. Ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëüíîé îðìóëû Ïóàññîíà âûâîäèòñÿ ðÿä
äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé.
    ãë. 7 èçëàãàþòñÿ ýëåìåíòû òåîðèè ïîòåíöèàëà.  Ÿ 1 âûâîäÿòñÿ îñíîâ-
íûå ñâîéñòâà îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà: äîêàçûâàåòñÿ åãî íåïðåðûâíàÿ äè-
åðåíöèðóåìîñòü âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà â ñëó÷àå îãðàíè÷åííîé ïëîò-
íîñòè è äâóõêðàòíàÿ íåïðåðûâíàÿ äèåðåíöèðóåìîñòü äëÿ ïëîòíîñòè ñ
îãðàíè÷åííûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáúåìíûé ïîòåíöèàë
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà, ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ.  Ÿ 2 ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà
ïîòåíöèàëîâ ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîÿ è, â ÷àñòíîñòè, îðìóëû ñêà÷êà
ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ ëèáî íîðìàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîòåíöèàëà ïðî-
ñòîãî ñëîÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè.  Ÿ 3
èçëàãàåòñÿ ñóùíîñòü ìåòîäà ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûé
äàëåå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ âíóòðåííèõ è âíåøíèõ çàäà÷ Äèðèõ-
ëå è Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà.  Ÿ 4 èçëàãàåòñÿ ñóùíîñòü ìåòîäà
óíêöèé ðèíà ðåøåíèÿ ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññî-
íà. Óñòàíàâëèâàþòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà óíêöèé ðèíà è âûâîäÿòñÿ ÿâíûå
îðìóëû ðåøåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè åãî ñóùåñòâîâàíèÿ. Îáñóæäàåòñÿ è-
çè÷åñêèé ñìûñë óíêöèé ðèíà.  Ÿ 5 êðàòêî èçëàãàþòñÿ ýëåìåíòû òåîðèè
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà 2-ãî ðîäà.
    çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî íàñòîÿùóþ êíèãó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê ââåäåíèå â îáùóþ òåîðèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èçè÷å-
ñêèõ ïðîöåññîâ. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé êîíêðåòíûé èçè÷åñêèé ïðîöåññ
ìîæíî ñ÷èòàòü ñîñòîÿùèì èç ðÿäà ýëåìåíòàðíûõ èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òè-
ïà êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà, äèóçèè, ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà, èçëó÷åíèÿ
çâóêà èëè ñâåòà è äð. Áîëåå òîãî, ïðîòåêàíèå êîíêðåòíîãî èçè÷åñêîãî ïðî-
öåññà íà ìàëîì èíòåðâàëå âðåìåíè ìîæíî ïðèáëèæ¼ííî ñ÷èòàòü ñîñòîÿùèì
èç ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðîòåêàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ñî-
ñòàâëÿþùèõ ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ. Íà ýòîì îñíîâàí õîðîøî èçâåñòíûé
â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ ïî èçè÷åñêèì ïðîöåñ-
ñàì [44℄. Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà ïîçâîëÿåò ñâåñòè èçó÷åíèå ñëîæíîãî
èçè÷åñêîãî ïðîöåññà ê èçó÷åíèþ ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòàðíûõ è-
çè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òèïà êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà, äèóçèè, ðàñïðîñòðà-
íåíèÿ òåïëà è èçëó÷åíèÿ âîëí, ÷åìó àêòè÷åñêè è ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ
êíèãà. Êîíå÷íî, ïðè èñïîëüçîâàíèè òàêîãî ïîäõîäà ê èçó÷åíèþ èçè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ âîçíèêàåò âàæíûé âîïðîñ îá îáîñíîâàíèè äàííîãî ïîäõîäà, ò. å.
îá îáîñíîâàíèè ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ ïî èçè÷åñêèì ïðîöåññàì. Ïîñëåäíåå
ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
   Îòìåòèì, ÷òî èçó÷àòü äàííóþ êíèãó ìîæíî êàê ïîñëåäîâàòåëüíî ïî èç-
ëîæåííîé â îãëàâëåíèè ñõåìå, òàê è ïî äðóãîé ñõåìå, êîòîðàÿ áûñòðåå ïðè-

                                   13