Классические методы математической физики - 12 стр.

þùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî âîëíîâîå óðàâíåíèå ðàññìàòðè-
âàåòñÿ ëèøü â êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòÿõ: îòðåçêå âåùåñòâåííîé îñè, ïðÿìî-
óãîëüíèêå ëèáî êðóãå íà ïëîñêîñòè, à òàêæå âî âíåøíîñòè øàðà. Ïðèâîäèò-
ñÿ äåòàëüíûé èçè÷åñêèé àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Åäèíñòâåííîñòü
è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ýíåðãåòè÷åñêèõ
íåðàâåíñòâ.
   Â ãë. 5 èçëàãàþòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîä-
íîñòè, ÿâëÿþùåãîñÿ ïðîñòåéøèì ïðåäñòàâèòåëåì óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷å-
ñêîãî òèïà. Ê íèì îòíîñÿòñÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà, áåñêîíå÷íàÿ äèåðåí-
öèðóåìîñòü ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîé îá-
ëàñòè è áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Èçëàãàþòñÿ
äâà îñíîâíûõ ìåòîäà íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ
çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè: ìåòîä Ôóðüå è ìåòîä èíòåãðàëü-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äîêàçûâà-
þòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà.
    ãë. 6 èçëàãàþòñÿ ýëåìåíòû òåîðèè ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ãàð-
ìîíè÷åñêèõ óíêöèé. Ââîäÿòñÿ óíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ ãàðìîíè÷åñêîé
óíêöèè è ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ïðîñòðàíñòâå n
èçìåðåíèé. Èññëåäóþòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ è óñòà-
íàâëèâàåòñÿ åãî èçè÷åñêèé ñìûñë ïóòåì àíàëèçà ïîòåíöèàëîâ ìîíîïîëÿ,
äèïîëÿ è äðóãèõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ. Âûâîäÿòñÿ îðìóëû äëÿ ïîòåíöè-
àëîâ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ èñòî÷íèêàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî îáúåìó ëèáî
ïîâåðõíîñòè. Ýòè ïîòåíöèàëû, íàçûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî îáúåìíûì ïî-
òåíöèàëîì ëèáî ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî èëè äâîéíîãî ñëîÿ, îïèñûâàþòñÿ
êðàòíûìè ëèáî ïîâåðõíîñòíûìè èíòåãðàëàìè, çàâèñÿùèìè îò ïàðàìåòðà.
Óêàçàííûå èíòåãðàëû ÿâëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûìè â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà ïðèíàäëåæàò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èçëà-
ãàþòñÿ ýëåìåíòû òåîðèè êðàòíûõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ
îò ïàðàìåòðà. Ââîäèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ ãàðìîíè÷å-
ñêèõ óíêöèé, îñíîâàííûé íà îðìóëàõ ðèíà è èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè ãëàäêîé óíêöèè â âèäå ñóììû òðåõ ãàðìîíè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ:
îáúåìíîãî, ïðîñòîãî ñëîÿ è äâîéíîãî ñëîÿ. Ñ èñïîëüçîâàíèåì åãî âûâîäÿòñÿ
îñíîâíûå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé, áëèçêèå ê ñâîéñòâàì ðåøåíèé
ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ïðèíöèï ìàêñèìóìà, áåñêîíå÷íàÿ äèåðåí-
öèðóåìîñòü è àíàëèòè÷íîñòü âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè. Äåòàëüíî
èçó÷àþòñÿ êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êðóãå è âíå êðóãà, à
òàêæå â øàðå è âíå øàðà. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ôóðüå íàõîäÿòñÿ èõ ðåøå-
íèÿ, êîòîðûå äàëåå ïðåîáðàçóþòñÿ ê èíòåãðàëüíûì îðìóëàì Ïóàññîíà.
Íà îñíîâå óêàçàííûõ îðìóë âûâîäÿòñÿ îöåíêè ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè,
çàäàííîé â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè, îïèñûâàþùèå åå ïîâåäåíèå íà áåñêî-
íå÷íîñòè. Ôîðìóëèðóþòñÿ ÷åòûðå îñíîâíûå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà: çàäà÷à Äèðèõëå, çàäà÷à Íåéìàíà, òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à è ñìå-

                                   12