Классические методы математической физики - 15 стр.

  ËÀÂÀ 1. Ñóùíîñòü ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî
       ìîäåëèðîâàíèÿ. Âûâîä êëàññè÷åñêèõ
                ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé


Ÿ1.Ñóùíîñòü ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
              èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

    Â ýòîì ïàðàãðàå ìû èçëîæèì êðàòêóþ ñõåìó ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìà-
òåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ èçó÷åíèÿ ðàçëè÷íîãî ðîäà ïðîöåññîâ.
Ïðåæäå ÷åì èçëàãàòü óêàçàííóþ ñõåìó, áûëî áû âåñüìà æåëàòåëüíî äàòü
ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Äëÿ ýòîãî,
â ñâîþ î÷åðåäü, íåîáõîäèìî òî÷íî îïðåäåëèòü òàêèå òåðìèíû êàê ìåòîä,
ìàòåìàòè÷åñêèé è ìîäåëü. Íî äàòü òî÷íîå îïðåäåëåíèå óêàçàííûì òåð-
ìèíàì âåñüìà íåïðîñòî. Îá ýòîì ìîæíî ñóäèòü õîòÿ áû ïî ìàòåðèàëàì çàñå-
äàíèÿ 3-ãî Åâðîïåéñêîãî êîíãðåññà ìàòåìàòèêîâ â ã. Áàðñåëîíå (Èñïàíèÿ)
â èþëå 2000 ã., ãäå ñîñòîÿëñÿ êðóãëûé ñòîë ïî âîïðîñó: ÷òî åñòü ìàòåìà-
òèêà â íàøè äíè. Áûñòðî áûë ñîðìóëèðîâàí óíäàìåíòàëüíûé âîïðîñ:
÷òî òàêîå ìàòåìàòèêà è ÷òî òàêîå ìàòåìàòèê? Íà÷àëñÿ îæèâëåííûé îáìåí
ìíåíèÿìè ìåæäó ó÷àñòíèêàìè êðóãëîãî ñòîëà, îäíàêî îíè òàê è íå ñìîãëè
ïðèéòè ê åäèíîìó ìíåíèþ è ðåøèòü ïðîáëåìó ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ ìà-
òåìàòèêà. Ïðåäñòàâëÿåò òàêæå çíà÷èòåëüíûå òðóäíîñòè îïðåäåëèòü ïî-
íÿòèÿ ìîäåëü, ïðîöåññ è ò.ä. Íàïðèìåð, ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ
ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â ñðåäå ïðèõîäèòñÿ îïåðèðîâàòü ñ ïîíÿòèåì òåì-
ïåðàòóðà. Äàòü ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýòîãî òåðìèíà âðÿä
ëè âîçìîæíî.
    Ýòè àêòû ãîâîðÿò î ñïåöèè÷åñêèõ ñëîæíîñòÿõ â ðàçâèòèè íàóêè î ìà-
òåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ðàçëè÷íîãî ðîäà ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé. Óêà-
çàííûå ñëîæíîñòè ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èññëåäîâàòåëþ ïðèõîäèòñÿ îïåðèðîâàòü ñ äâóìÿ òè-
ïàìè ïîíÿòèé. Ê ïåðâîìó îòíîñÿòñÿ ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, òàêèå
êàê äèåðåíöèàëüíîå ëèáî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, ñèñòåìà ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è ò. ï.,
ò. å. òå ïîíÿòèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñòðîãî îïðåäåëåíû ìàòåìàòè÷åñêè. Êî
âòîðîìó òèïó îòíîñÿòñÿ âñÿêîãî ðîäà èçè÷åñêèå, áèîëîãè÷åñêèå, õèìè÷å-
ñêèå è äðóãèå òåðìèíû, íå âñå èç êîòîðûõ ïîääàþòñÿ ñòðîãîìó ìàòåìàòè-
÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ.
    Èñïîëüçîâàíèå óêàçàííûõ ïîíÿòèé âûçûâàåò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ó
ñòó- äåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ, äëÿ êîòîðûõ èçëàãàåìûå íà ïåðâûõ äâóõ êóðñàõ
ìàòåìàòè÷åñêèå äèñöèïëèíû îñíîâûâàëèñü íà ââåäåíèè íåêîòîðîãî êîëè-
÷åñòâà òî÷íûõ îïðåäåëåíèé, àêñèîì è ïîñëåäóþùåì ïîñòðîåíèè ñîîòâåò-
ñòâóþùåé òåîðèè íà îñíîâå çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Äëÿ èçèêîâ,

                                   15