Классические методы математической физики - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
x, y R
3
R
3
R
2
R = R
1
n R
n
D S
D ψ
Ω ⊂ D
Z
Ω
ψ(x)dx = 0. (1.1)
ψ(x) ≡ 0 D
ψ(x) 6≡ 0
x
0
∈ D ψ(x
0
) = ε 6= 0 ε > 0
ψ U
δ
= U
δ
(x
0
)
x
0
δ ψ(x) ≥ ε/2 ∀x ∈ U
δ
Ω = U
δ
(x
0
)
0 =
Z
U
δ
ψ(x)dx ≥
ε
2
Z
U
δ
dx =
2ε
3
πδ
3
> 0.
ëåííûõ, îðèåíòèðîâàííûõ íà ÝÂÌ, íàõîäèòñÿ èñêîìîå ðåøåíèå  òî÷íî
èëè ïðèáëèæåííî.
   6. Íà îñíîâå àíàëèçà ñâîéñòâ ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ äåëàþòñÿ âûâîäû î
ñâîéñòâàõ èçè÷åñêîãî ïðîöåññà (â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè).
   Íèæå ìû ïðèìåíèì ïðèâåäåííóþ ñõåìó ïðè âûâîäå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìî-
äåëåé ðÿäà âàæíåéøèõ èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, òàêèõ êàê äèóçèÿ, ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå òåïëà, äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ, èçëó÷åíèå âîëí è äð.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç R3 òðåõìåðíîå àèííî-åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. ×å-
ðåç x, y,... áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êè R3 , ëèáî èõ ðàäèóñ-âåêòîðû îòíîñèòåëü-
íî íà÷àëà êîîðäèíàò. Íàðÿäó ñ ïðîñòðàíñòâîì R3 áóäåì òàêæå ðàññìàòðè-
âàòü ïëîñêîñòü R2 ëèáî âåùåñòâåííóþ îñü R = R1 , à òàêæå ïðîèçâîëüíîå
n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî Rn . Âàæíóþ ðîëü ïðè âûâîäå óêàçàííûõ ìîäåëåé
áóäåò èãðàòü ñëåäóþùàÿ ëåììà.
   Ëåììà 1.1. Ïóñòü D  ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé S , è ïóñòü
íåïðåðûâíàÿ â D óíêöèÿ ψ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé
îãðàíè÷åííîé (êóáèðóåìîé) îáëàñòè Ω ⊂ D
                                Z
                                  ψ(x)dx = 0.                         (1.1)
                              Ω

Òîãäà ψ(x) ≡ 0 â D.
  Äîêàçàòåëüñòâî.     Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ψ(x) 6≡ 0. Òîãäà íàé-
äåòñÿ òàêàÿ òî÷êà x0 ∈ D, ÷òî ψ(x0 ) = ε 6= 0. Ïóñòü, íàïðèìåð, ε > 0. Â
ñèëó íåïðåðûâíîñòè ψ ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü Uδ = Uδ (x0 ) ñ öåí-
òðîì â òî÷êå x0 ðàäèóñà δ , ÷òî ψ(x) ≥ ε/2 ∀x ∈ Uδ . Ïîëàãàÿ Ω = Uδ (x0 ),
èìååì â ñèëó (1.1):
                                   ε        2ε
                     Z               Z
                  0 = ψ(x)dx ≥         dx = πδ 3 > 0.
                                   2         3
                      Uδ             Uδ

Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ëåììó.

 Ÿ2. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ìåõàíèêè ìàòåðèàëüíîé
   òî÷êè. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Çàêîíû Êåïëåðà
   Ñ ïîñòðîåíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìû âñòðå÷àëèñü åùå â øêîëå,
ðåøàÿ çàäà÷è ïî èçèêå.  íèõ îáû÷íî çàäàåòñÿ íåêîòîðàÿ èçè÷åñêàÿ
ñèñòåìà è îïèñûâàþòñÿ óñëîâèÿ, â êîòîðûõ îíà íàõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì íåîá-
õîäèìî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå î âîçìîæíîé èäåàëèçàöèè ýòîé ñèñòåìû
(íàïðèìåð, íåêîòîðîå ðåàëüíîå òåëî ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè), îïðåäåëèòü èçè÷åñêèå çàêîíû, êîòîðûå íóæíî ïðèíÿòü âî âíèìà-
íèå ïðè åå èçó÷åíèè, è çàïèñàòü èõ â âèäå ìàòåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Â

                                    17

Страницы