Классические методы математической физики - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

m v
0
α
g
m
x, y
x
y
ma ≡ m
¨
r = f.
r(t) = x(t)i + y(t)j x, y t
i j a =
¨
r
f
··
r=
··
x i+
··
y j
f
f = mg,
g = −gj
m¨x = 0, x(0) = 0, ˙x(0) = v
0
cos α, v
0
= |v
0
|,
m¨y = −mg, y(0) = 0, ˙y(0) = v
0
sin α.
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ðàññìàòðèâàåìîé èçè÷åñêîé
ñèñòåìû.
   2.1. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ òåëà. Â ýòîì è ñëåäóþùåì
ïóíêòàõ, íàïèñàííûõ ïî ìàòåðèàëàì [55, ãë. 1℄, ìû ïðèìåíèì ìåòîä ìà-
òåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è ìåõàíèêè:
òåëó ìàññû m íà Çåìëå ñîîáùåíà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííàÿ
ïîä óãëîì α ê åå ïîâåðõíîñòè; òðåáóåòñÿ íàéòè òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ
òåëà è âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó åå íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàìè.
Êàê è â [55℄, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î êàìíå, áðîøåííîì ñ ïî-
ìîùüþ êàòàïóëüòû. Ýòî óòî÷íåíèå îïðåäåëÿåò õàðàêòåðíûå ðàçìåðû òåëà,
åãî ìàññó è âîçìîæíóþ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü. Ïîñòðîèì äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ
ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, îñíîâàííóþ íà ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ:
   1) Çåìëÿ  èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà.
   2) Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïîñòîÿííî.
   3) Êðèâèçíîé Çåìëè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ñ÷èòàÿ åå ïëîñêîé è ðàñïîëî-
æåííîé, íàïðèìåð, íà òðåõ êèòàõ.
   4) Êàìåíü ìîäåëèðóåòñÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé ìàññû m, âûëåòàþùåé ñ
óðîâíÿ Çåìëè, ïðè÷åì äåéñòâèåì âîçäóõà íà äâèæóùèéñÿ êàìåíü ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü.
   Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò x, y ñ öåíòðîì â ìåñòå âûëåòà êàìíÿ èç êàòà-
ïóëüòû, ïðè÷åì îñü x íàïðàâèì ãîðèçîíòàëüíî â ñòîðîíó äâèæåíèÿ êàìíÿ,
à îñü y  âåðòèêàëüíî ââåðõ. Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äâèæåíèå
êàìíÿ áóäåò îïèñûâàòüñÿ èçâåñòíûì èç øêîëüíîãî êóðñà èçèêè âòîðûì
çàêîíîì Íüþòîíà, êîòîðûé ìû çàïèøåì â âèäå

                               ma ≡ mr̈ = f.                        (2.1)

Çäåñü r(t) = x(t)i + y(t)j - ïîëîæåíèå êàìíÿ â ïëîñêîñòè x, y â ìîìåíò t,
ãäå i è j  îðòû ââåäåííîé (ïëîñêîé) äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, a = r̈
                                                             ·· ··   ··
 óñêîðåíèå äâèæóùåéñÿ òî÷êè, f  âåêòîð âíåøíèõ ñèë è r=x i+ y j
îáîçíà÷àåò âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ïðè íàøèõ ïðåä-
ïîëîæåíèÿõ íà êàìåíü ïðè åãî äâèæåíèè äåéñòâóåò òîëüêî ìàññîâàÿ ñèëà,
òî âåêòîð f îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                  f = mg,                           (2.2)

ãäå g = −gj  âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (2.2)
â óðàâíåíèå (2.1), çàïèñàííîå â ïðîåêöèÿõ íà îñè êîîðäèíàò, è äîáàâëÿÿ
íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïðèõîäèì ê èñêîìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàññìàò-
ðèâàåìîãî ïðîöåññà, èìåþùåé âèä

               mẍ = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = v0 cos α, v0 = |v0 |,
                  mÿ = −mg, y(0) = 0, ẏ(0) = v0 sin α.            (2.3)

                                     18

Страницы