Классические методы математической физики - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x = tv
0
cos α, y = tv
0
sin α − gt
2
/2.
x
v
x
= v
0
cos α
y a
y
= −g
v
y
= v
0
sin α
t x
y = xtgα − x
2
g
2v
2
0
cos
2
α
.
x x = 0
x = l
l =
2v
2
0
cos
2
αtgα
g
=
v
2
0
g
sin 2α.
x = 0
l
l
y
O
x
a
v
0
Ìàòåìàòè÷åñêè ïîëó÷åííàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó Êîøè äëÿ
ñèñòåìû äâóõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà
ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè, êîòîðàÿ ýëåìåíòàðíî ðåøàåòñÿ, à åå ðå-
øåíèå, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, èìååò âèä

                   x = tv0 cos α, y = tv0 sin α − gt2 /2.             (2.4)

Ôèçè÷åñêè ñîîòíîøåíèÿ (2.4) îçíà÷àþò, ÷òî ïðîåêöèÿ êàìíÿ íà îñü x áóäåò
äâèãàòüñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ vx = v0 cos α, òîãäà êàê ïðîåêöèÿ íà îñü
y áóäåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì ay = −g , èìåÿ ñâîåé íà÷àëüíîé
ñêîðîñòüþ vy = v0 sin α.
   Âûðàæàÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (2.4) âðåìÿ t ÷åðåç x è ïîäñòàâëÿÿ
âî âòîðîå óðàâíåíèå (2.4), ïîëó÷àåì èñêîìîå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè êàìíÿ.
Îíî èìååò âèä êâàäðàòè÷íîé ïàðàáîëû (ñì. ðèñ. 2.1):
                                               g
                         y = xtgα − x2               .                (2.5)
                                         2v02 cos2 α
Óêàçàííàÿ ïàðàáîëà (ñì. ðèñ. 2.1), ïåðåñåêàåò îñü x â äâóõ òî÷êàõ: x = 0 è
x = l, ãäå
                          2v 2 cos2 αtgα v02
                      l= 0              = sin 2α.                     (2.6)
                                 g          g
Ïåðâàÿ òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíîé òî÷êîé òðàåêòîðèè, â íåé êàìåíü
âûëåòàåò èç êàòàïóëüòû. Âòîðàÿ òî÷êà ñîîòâåòñòâóåò ìåñòó ïàäåíèÿ êàìíÿ
íà çåìëþ. Ôîðìóëà (2.6) è îïðåäåëÿåò â ðàìêàõ ïðèíÿòîé ìîäåëè èñêîìîå
ðàññòîÿíèå l. Ýòà îðìóëà õîðîøî èçâåñòíà èç øêîëüíîãî ó÷åáíèêà ïî
èçèêå, ãäå îíà âûâîäèòñÿ è ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ.
    ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ ïîñòðîåíèå ìàòåìà-        y
òè÷åñêîé ìîäåëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç
íàèáîëåå ñëîæíûõ è îòâåòñòâåííûõ ýòàïîâ. Òðóä-
íîñòü äàííîãî ýòàïà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí òðå-           v  0

áóåò ñîåäèíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ è ñïåöèàëü-
íûõ çíàíèé. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî âî ìíîãèõ             a
ñëó÷àÿõ ïðàâèëüíûé âûáîð ìîäåëè îçíà÷àåò                            l
                                                  O                     x
ïîëîâèíó ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
   Áîëåå ñëîæíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò òîãäà,                èñ. 2.1.
êîãäà íàøèõ çíàíèé îá èçó÷àåìîì îáúåêòå íåäîñòàòî÷íî.  ýòîì ñëó÷àå
ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðèõîäèòñÿ äåëàòü äîïîëíèòåëü-
íûå ïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå íîñÿò õàðàêòåð ãèïîòåç. Âûâîäû, ïîëó÷åí-
íûå â ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ òàêîé ãèïîòåòè÷åñêîé ìîäåëè, íîñÿò äëÿ
èçó÷àåìîãî îáúåêòà óñëîâíûé õàðàêòåð. Îíè ñïðàâåäëèâû äëÿ íåãî íà-
ñòîëüêî, íàñêîëüêî ïðàâèëüíû èñõîäíûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Äëÿ èõ ïðîâåðêè


                                    19

Страницы