Классические методы математической физики - 16 стр.

â ñâîþ î÷åðåäü, îñîáóþ òðóäíîñòü âûçûâàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ èçó-
÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà èëè ÿâëåíèÿ èì ïðèõîäèòñÿ ïðèâëåêàòü
òî÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, ïîâåäåíèå êîòîðûõ ïîä÷èíÿåòñÿ ñòðîãèì
çàêîíàì ìàòåìàòèêè. Ïîñëåäíåå äàæå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ
íàãëÿäíûì èëè èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì î ðàññìàòðèâàåìîì ïðîöåññå
èëè ÿâëåíèè.
   ßñíî, ÷òî óêàçàííûå ñëîæíîñòè íîñÿò ñêîðåå îáùåíàó÷íûé ëèáî ìåòî-
äîëîãè÷åñêèé õàðàêòåð. Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè îáñóæäàòü â äàííîé êíèãå
óêàçàííûå âîïðîñû, óñëîâèìñÿ íèæå íå êàñàòüñÿ âîïðîñà î ñòðîãîì ìàòå-
ìàòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè èñïîëüçóåìûõ èçè÷åñêèõ ïîíÿòèé òàê æå, êàê
è ïîíÿòèé ìîäåëü, ïðîöåññ è äð., ïîíèìàÿ ïîä íèìè îáùåïðèíÿòûå â
æèòåéñêîì ñìûñëå òåðìèíû, èçâåñòíûå, íàïðèìåð, ñî ñðåäíåé øêîëû.
   Ïåðåéäåì òåïåðü ê îïèñàíèþ ñóùíîñòè ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ è èçëîæåíèþ êðàòêîé ñõåìû ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà. Ïðåæäå
îòìåòèì, ÷òî îáû÷íî èññëåäóåòñÿ íå ñàì ðåàëüíûé èçè÷åñêèé ïðîöåññ, à
íåêîòîðàÿ åãî èçè÷åñêàÿ ìîäåëü (èäåàëüíûé ïðîöåññ), îò êîòîðîé òðåáóåò-
ñÿ, ÷òîáû îíà ñîõðàíÿëà îñíîâíûå ÷åðòû ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà è â òî
æå âðåìÿ áûëà íàñòîëüêî ïðîñòîé, ÷òîáû ïîääàâàëàñü èçó÷åíèþ èìåþùè-
ìèñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè,
îïèñûâàþùåé óêàçàííûé èäåàëüíûé ïðîöåññ, ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå
îñíîâíûå ýòàïû.
   1. Âûáèðàþòñÿ âåëè÷èíû u, v ,..., õàðàêòåðèçóþùèå ïðîöåññ. Êàê ïðà-
âèëî, ýòè âåëè÷èíû çàâèñÿò îò òî÷åê x îáëàñòè D, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ
ïðîöåññ, è âðåìåíè t.
   2. Íà îñíîâàíèè çàêîíîâ, êîòîðûì ïîä÷èíÿåòñÿ èäåàëüíûé ïðîöåññ, âû-
âîäèòñÿ ñèñòåìà ìàòåìàòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí u, v, ...,
ñîñòîÿùàÿ îáû÷íî èç äèåðåíöèàëüíûõ, èíòåãðàëüíûõ è óíêöèîíàëü-
íûõ óðàâíåíèé (èëè íåðàâåíñòâ) è íàçûâàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ
ðàññìàòðèâàåìîãî èçè÷åñêîãî ïðîöåññà.
   3. Òàê êàê ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, èìååò
áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, òî åå íåäîñòàòî÷íî äëÿ îïèñàíèÿ êîí-
êðåòíîãî ïðîöåññà. Ïîýòîìó ââîäÿòñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ,
õàðàêòåðèçóþùèå ïðîöåññ. Òàêèìè óñëîâèÿìè ÷àùå âñåãî ÿâëÿþòñÿ ãðà-
íè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ, ò. å. óñëîâèÿ, çàäàííûå íà ãðàíèöå îáëàñòè D,
è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè, ñ êîòîðîãî íà÷è-
íàåòñÿ ïðîöåññ. Ñîâîêóïíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è äîïîëíèòåëüíûõ
óñëîâèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêóþ îðìóëèðîâêó ðàññìàòðèâà-
åìîé èçè÷åñêîé çàäà÷è è íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
   4. Èññëåäóåòñÿ êîððåêòíîñòü óêàçàííîé êðàåâîé çàäà÷è, ò. å. óñòàíàâëè-
âàþòñÿ óñëîâèÿ íà èñõîäíûå äàííûå, ïðè êîòîðûõ åå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò,
åäèíñòâåííî è óñòîé÷èâî.
   5. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, àíàëèòè÷åñêèõ èëè ÷èñ-

                                   16