Классические методы математической физики - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a
0
, b
0
, c
0
a
0
=
LC
2b
0
= RC + GL c
0
= GR
u w = e
(−b
0
/a
0
)t
u
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ b
2
u,
a = 1/
√
a
0
b =
p
b
2
0
− a
0
c
0
/a
0
G = R = 0
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
,
a =
p
1/LC
G R
GL = RC
x = 0 x = l
u
R
R
3
V (x) x ∈ R
3
m ψ : R
3
× R
1
t
|ψ(x, t)|
2
dx
x
t
ψ
ih
∂ψ
∂t
= −
h
2
2m
∆ψ + V ψ.
i =
√
−1 h = 1, 054 · 10
−27
∂ψ/∂t = 0
∆ψ −
2m
h
2
V ψ = 0,
Çäåñü ïîñòîÿííûå êîýèöèåíòû a0 , b0 , c0 îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè: a0 =
LC , 2b0 = RC + GL, c0 = GR. (8.15) íàçûâàþò òåëåãðàíûì óðàâíåíèåì.
   Åñëè ââåñòè íîâóþ óíêöèþ u, ïîëàãàÿ w = e(−b0 /a0 )t u, òî óðàâíåíèå
(8.15) ïðèìåò áîëåå ïðîñòîé âèä

                              ∂ 2u     2
                                     2∂ u
                                   =a     + b2 u,                    (8.16)
                              ∂t2     ∂x2
          √        p
ãäå a = 1/ a0 , b = b20 − a0 c0 /a0 . Åñëè, êðîìå òîãî, ïðåíåáðå÷ü ïîòåðÿìè
÷åðåç èçîëÿöèþ è ñîïðîòèâëåíèåì òîêó, ïîëàãàÿ G = R = 0, òî (8.16)
ïåðåõîäèò â îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå
                                ∂ 2u      2
                                        2∂ u
                                     = a     ,                       (8.17)
                                ∂t2      ∂x2
ãäå a =     1/LC . Èíòåðåñíî, ÷òî ê ýòîìó æå óðàâíåíèþ ñâîäèòñÿ óðàâ-
         p
íåíèå (8.16) â ñëó÷àå, êîãäà G è R íå ðàâíû íóëþ, à ñâÿçàíû ìåæäó ñî-
áîé ñîîòíîøåíèåì GL = RC . Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ýëåêòðè÷å-
ñêèå ëèíèè íàçûâàþòñÿ ëèíèÿìè áåç èñêàæåíèÿ. Ïðèñîåäèíèâ ê (8.16)
èëè (8.18) íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âèäà (8.5) è ñîîòâåòñòâóþùèå êðàåâûå óñëî-
âèÿ íà êîíöàõ ïðîâîäà x = 0 è x = l, ïðèâåä¼ííûå, íàïðèìåð â [21, .
97℄, ïîëó÷èì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ
íàõîæäåíèÿ èñêîìîé óíêöèè u. Âïðî÷åì, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðîâîä
ÿâëÿåòñÿ íàñòîëüêî äëèííûì, ÷òî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòèðàþùèìñÿ â
îáå ñòîðîíû äî áåñêîíå÷íîñòè.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî
ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî çàäàòü ëèøü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé
îñè R ( ì. îá ýòîì ïîäðîáíåå â [21, ãë. 7℄).
   8.5. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. àññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå R âíåø-
                                                                 3

íåå ïîòåíöèàëüíîå ñèëîâîå ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì V (x), x ∈ R3 . Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì óêàçàííîãî ñèëîâîãî ïîëÿ äâèæåòñÿ êâàíòîâàÿ
÷àñòèöà ìàññû m. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ψ : R3 × R1t âîëíîâóþ óíêöèþ ýòîé
÷àñòèöû. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ âîëíîâîé óíêöèè âûðàæåíèå |ψ(x, t)|2 dx
îïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòèöà áóäåò íàõîäèòüñÿ â îêðåñòíîñòè x
â ìîìåíò âðåìåíè t. Ìîæíî ïîêàçàòü, (ñì., íàïðèìåð, [31℄), ÷òî ïîâåäåíèå
óíêöèè ψ îïèñûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìûì óðàâíåíèåì Øð¼äèíãåðà:
                              ∂ψ    h2
                         ih      =−    ∆ψ + V ψ.                     (8.18)
                              ∂t    2m
         √
Çäåñü i = −1, h = 1, 054 · 10−27ýðã.ñåê  ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Â ñòàöèî-
íàðíîì ñëó÷àå, êîãäà ∂ψ/∂t = 0, óðàâíåíèå (8.18) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå
                                     2m
                              ∆ψ −      V ψ = 0,                     (8.19)
                                     h2
                                      90

Страницы