Классические методы математической физики - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ = ρ
0
=
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
+
∂
2
u
∂y
+ f,
a
2
= T/ρ
0
f = F/ρ
0
Γ
u
Ox
l I
v x
t
I v
C, R, L G
x =
x
1
x = x
2
R
x
2
Z
x
1
I(x, t)dx = v(x
1
, t) −v(x
2
, t) −L
x
2
Z
x
1
∂I(x, t)
∂t
dx.
(x
1
, x
2
) t
(x
1
, x
2
) t
(x
1
, x
2
) t
v(x
1
, t)−v(x
2
, t) = −
R
x
2
x
1
∂v(x,t)
∂x
dx
Z
x
2
x
1
∂v
∂x
+ L
∂I
∂t
+ RI
dx = 0.
ñëó÷àå, êîãäà ρ = ρ0 = onst, óðàâíåíèå (8.9) ïðèíèìàåò âèä äâóìåðíîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
                      ∂ 2u
                                 2       2
                                              
                                 ∂  u   ∂   u
                         2
                           = a2       +         + f,            (8.10)
                      ∂t         ∂x     ∂y
ãäå a2 = T /ρ0 , f = F/ρ0 . Ïðèñîåäèíèâ ê (8.9) èëè (8.10) íà÷àëüíûå óñëî-
âèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåå êðàåâîå óñëîâèå íà ãðàíèöå Γ, ïîëó÷èì íà÷àëüíî-
êðàåâóþ çàäà÷ó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ u.
   8.3. Ìîäåëè ýëåêòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé â ïðîâîäàõ. Èç èçèêè
èçâåñòíî, ÷òî ïðîöåññ ïðîõîæäåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà â ïðîâîäå ñîïðî-
âîæäàåòñÿ ïîÿâëåíèåì â åãî îêðåñòíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíî âû-
çûâàåò èçìåíåíèå êàê ñèëû òîêà, òàê è íàïðÿæåíèÿ. Â ðåçóëüòàòå â ïðîâîäå
âîçíèêàåò îïðåäåëåííûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ. Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ
ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé ýòîò ïðîöåññ.
   Ïðîâåäåì îñü Ox âäîëü îñè ïðîâîäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â
îäèí èç åãî êîíöîâ, äëèíó ïðîâîäà îáîçíà÷èì ÷åðåç l. Ñèëó òîêà I è íà-
ïðÿæåíèå v â êàæäîé òî÷êå ïðîâîäà áóäåì ñ÷èòàòü óíêöèÿìè àáñöèññû x
è âðåìåíè t. Â ñèëó çàêîíîâ, óïðàâëÿþùèõ ïîâåäåíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ, âåëè÷èíû I è v ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûìè äèåðåíöèàëü-
íûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïðè âûâîäå ýòèõ óðàâíåíèé
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, êàê â [21, ñ. 89℄, ÷òî åìêîñòü, àêòèâíîå ñîïðîòèâëå-
íèå, ñàìîèíäóêöèÿ è óòå÷êà ðàñïðåäåëåíû âäîëü ïðîâîäà íåïðåðûâíî è
ðàâíîìåðíî, è îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîíñòàíòàìè C, R, L è G, ðàñ-
ñ÷èòàííûìè íà åäèíèöó äëèíû ïðîâîäà.
   àññìîòðèì ÷àñòü ïðîâîäà, çàêëþ÷åííóþ ìåæäó äâóìÿ ñå÷åíèÿìè x =
x1 è x = x2. Ïðèìåíÿÿ çàêîí Îìà ê ýòîé ÷àñòè ïðîâîäà, áóäåì èìåòü
               Zx2                                         Zx2
                                                                 ∂I(x, t)
           R         I(x, t)dx = v(x1, t) − v(x2, t) − L                  dx.   (8.11)
                                                                   ∂t
               x1                                          x1

 ñëîâåñíîé îðìå çàêîí Îìà ãëàñèò òàê: ïðîèçâåäåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ
íà âåëè÷èíó òîêà, ïðîòåêàþùåãî ïî ó÷àñòêó (x1 , x2 ) ïðîâîäà â ìîìåíò t,
ðàâíî ñóììå ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ó÷àñòêå (x1 , x2) â ìîìåíò t è ý.ä.ñ.
ñàìîèíäóêöèè ó÷àñòêà (x1 , x2) â ìîìåíò t (ñðàâíèòå ñ çàêîíîì Îìà äëÿ
ñîñðåäîòî÷åííîé ñèñòåìû  êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà, ïðèâåäåííûì â ï. 8.1).
                                                   R x ∂v(x,t)
   Òàê êàê, ñ äðóãîé ñòîðîíû, v(x1, t)−v(x2, t) = − x12 ∂x dx, òî èç (8.11)
ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ
                      Z x2                 
                             ∂v     ∂I
                                + L + RI dx = 0.
                       x1    ∂x     ∂t


                                          88

Страницы