Классические методы математической физики - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
1
x
2
∂v
∂x
+ L
∂I
∂t
+ RI = 0.
I v
(x
1
, x
2
) I(x
1
, t)−
I(x
2
, t) = −
R
x
2
x
1
∂I
∂x
dx
(x
1
, x
2
)
C
R
x
2
x
1
(∂v/∂t)dx
G
R
x
2
x
1
vdx
Z
x
2
x
1
∂I
∂x
+ C
∂v
∂t
+ Gv
dx = 0.
∂I
∂x
+ C
∂v
∂t
+ Gv = 0.
v I
v I
x
t ∂
2
I/∂x∂t
v
∂
2
v
∂x
2
= LC
∂
2
v
∂t
2
+ (RC + GL)
∂v
∂t
+ GRv.
I
∂
2
I
∂x
2
= LC
∂
2
I
∂t
2
+ (RC + GL)
∂I
∂t
+ GRI.
v I
∂
2
w
∂x
2
= a
0
∂
2
w
∂t
2
+ 2b
0
∂w
∂t
+ c
0
w.
Èç íåãî ñ ó÷¼òîì ïðîèçâîëüíîñòè x1 è x2 ñëåäóåò â ñèëó ëåììû 1.1, ÷òî
                               ∂v     ∂I
                                   + L + RI = 0.                      (8.12)
                               ∂x     ∂t
   ×òîáû ïîëó÷èòü âòîðîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî I è v , âîñïîëüçóåì-
ñÿ óíäàìåíòàëüíûì çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà íà
ó÷àñòêå (x1 , Rx2). Ñîãëàñíî ýòîìó çàêîíó êîëè÷åñòâî ýëåêòðè÷åñòâà I(x1 , t)−
                x ∂I
I(x2, t) = − x12 ∂x  dx, ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç ðàññìàòðèâàåìûé ó÷àñòîê (x1, x2)
                                                                       Rx
ïðîâîäà çà åäèíèöó âðåìåíè, ðàâíî ñóììå êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷åñòâà C x12 (∂v/∂t)dx,
íåîáõîäèìîãî
        R x2     äëÿ çàðÿäêè ýòîãî ó÷àñòêà ïðîâîäà, è êîëè÷åñòâà ýëåêòðè÷å-
ñòâà G x1 vdx, óòåêàþ-
ùåãî èç ïðîâîäà, âñëåäñòâèå íåñîâåðøåíñòâà èçîëÿöèè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ
                         Z x2                
                                ∂I     ∂v
                                   +C     + Gv dx = 0.                (8.13)
                          x1    ∂x     ∂t
Èç íåãî, êàê è âûøå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
                           ∂I     ∂v
                              +C     + Gv = 0.                    (8.14)
                           ∂x     ∂t
Óðàâíåíèÿ (8.12), (8.14) è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èñêîìóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ
ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ðàñïðîñòðà-
íåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé â ïðîâîäàõ.
   8.4. Òåëåãðàíîå óðàâíåíèå. Êàê óæå óêàçûâàëîñü ⠟ 6, ñ ìàòåìà-
òè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ óäîáíåå ðàáîòàòü ñ îäíèì ñêàëÿðíûì óðàâíåíèåì
îòíîñèòåëüíî îäíîé íåèçâåñòíîé óíêöèè v èëè I , íåæåëè ñ äâóìÿ óðàâíå-
íèÿìè îòíîñèòåëüíî äâóõ óíêöèé v è I . ×òîáû ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùåå
óðàâíåíèå, ïðîäèåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (8.12) ïî x, à óðàâíåíèå (8.14)
ïî t è çàòåì èç íàéäåííûõ âûðàæåíèé èñêëþ÷èì ïðîèçâîäíóþ ∂ 2 I/∂x∂t.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî
ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî v :
                ∂ 2v      ∂ 2v             ∂v
                     = LC      + (RC + GL)    + GRv.
                ∂x2       ∂t2              ∂t
Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ñèëû òîêà I , èìåþùåå âèä
               ∂ 2I      ∂ 2I             ∂I
                    = LC      + (RC + GL)    + GRI.
               ∂x2       ∂t2              ∂t
  Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåíèå v è ñèëà òîêà I óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è
òîìó æå äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âèäà
                      ∂ 2w      ∂ 2w        ∂w
                           = a0      + 2b 0    + c0 w.            (8.15)
                      ∂x2       ∂t2         ∂t
                                    89

Страницы