Классические методы математической физики - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
S(x)
x x k(x)
ρ(x) x u(x, t)
x t
u
ρS
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
kS
∂u
∂x
+ F,
F S = S
0
= const
ρ = ρ
0
= const k = k
0
= const
a
2
= k
0
/ρ
0
f = F/ρ
0
S
0
x, y
u(x, y, t)
(x, y) t
u
2
x
u
2
y
ρ
∂
2
u
∂t
2
= T
∂
2
u
∂x
+
∂
2
u
∂y
+ F.
T ρ
F
Óðàâíåíèå (8.3) ëèáî (8.4) âìåñòå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (8.5) è ñîîòâåò-
ñòâóþùèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà÷àëüíî-êðàåâóþ çà-
äà÷ó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ íàõîæäåíèÿ çàêîíà êîëåáàíèÿ ñòðó-
íû.
   àññìîòðèì òåïåðü ñòåðæåíü, ðàñïîëîæåííûé âäîëü îñè x. Ââåäåì àíà-
ëîãè÷íî [6, ñ. 21℄ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: S(x)  ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ
ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè x, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êó x, k(x) è
ρ(x)  ìîäóëü Þíãà è ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ â ñå÷åíèè ñ àáñöèññîé x; u(x, t) 
âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âäîëü ñòåðæíÿ ñå÷åíèÿ ñ àáñöèññîé x â ìîìåíò t. Ìû
ïðåäïîëàãàåì, êîíå÷íî, ÷òî âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ âñåõ òî÷åê èêñèðîâàííîãî
ñå÷åíèÿ îäèíàêîâà. ßñíî, ÷òî ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ïîëíîñòüþ îïèñûâà-
þòñÿ óíêöèåé u. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàëûå ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ, ò. å.
òàêèå êîëåáàíèÿ, â êîòîðûõ íàòÿæåíèÿ, âîçíèêàþùèå â ïðîöåññå êîëåáà-
íèé, ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó óêà.
   Ïðè óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïðîöåññ ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé â ñòåðæíå
îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì
                           ∂ 2u
                                            
                                  ∂       ∂u
                         ρS 2 =        kS      + F,                  (8.8)
                           ∂t     ∂x      ∂x
ãäå F  îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü âíåøíèõ ñèë.  ñëó÷àå, êîãäà S = S0 = const,
ρ = ρ0 = const è k = k0 = const, óðàâíåíèå (8.8) ïåðåõîäèò â îäíîìåðíîå
âîëíîâîå óðàâíåíèå (8.4), ãäå a2 = k0 /ρ0 , f = F/ρ0 S0 . Ïðèñîåäèíèâ ê (8.8)
ëèáî (8.4) íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âèäà (8.5) è êðàåâûå óñëîâèÿ âèäà (8.6), îçíà-
÷àþùèå, ÷òî ñòåðæåíü çàêðåïëåí íà îáîèõ êîíöàõ [21, ñ. 66℄, ëèáî óñëîâèÿ
(8.7), åñëè ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ çàêðåïëåí, à ïðàâûé êîíåö ñòåðæíÿ ñâîáî-
äåí, ïîëó÷èì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ
íàõîæäåíèÿ çàêîíà ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ñòåðæíÿ.
   àññìîòðèì äàëåå ìåìáðàíó, ïîä êîòîðîé áóäåì ïîíèìàòü íàòÿíóòóþ
ïëîñêóþ ïëåíêó, íå ñîïðîòèâëÿþùóþñÿ èçãèáó è ñäâèãó, íî îêàçûâàþùóþ
ñîïðîòèâëåíèå ðàñòÿæåíèþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåìáðàíà ñîâåðøàåò ïîïå-
ðå÷íûå êîëåáàíèÿ, â êîòîðûõ ñìåùåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè x, y ,
ãäå íàõîäèòñÿ ìåìáðàíà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç u(x, y, t)
âåëè÷èíó ñìåùåíèÿ òî÷êè (x, y) ìåìáðàíû â ìîìåíò t, áóäåì ðàññìàòðè-
âàòü ìàëûå êîëåáàíèÿ, â êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíàìè u2x è u2y
ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé.
   Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [6, ñ. 26℄), ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óêàçàí-
íûõ ïðåäïîëîæåíèé ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ìåìáðàíû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
                         ∂ 2u
                                  2
                                   ∂ u ∂ 2u
                                               
                       ρ 2 =T           +        + F.                   (8.9)
                         ∂t        ∂x       ∂y
Çäåñü T  ïîñòîÿííîå íàòÿæåíèå, ρ  ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ìåìáðàíû,
F  ïëîòíîñòü âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà åäèíèöó ïëîùàäè.  ÷àñòíîì

                                     87

Страницы