Классические методы математической физики - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t m¨x
m¨x + r ˙x + kx = F (t),
F = 0
F 6= 0
R
C
L
(t)
ϕ
L R
C
ϕ(t)
Q
I
E
Q = CE I
I = −
˙
Q = −C
˙
E RI
E
L
˙
I
ϕ(t)
RI = E −L
˙
I + ϕ(t) −RC
˙
E = E + LC
¨
E + ϕ(t) C
L
¨
E + R
˙
E +
1
C
E = F (t), F (t) = C
−1
ϕ(t).
E
t
âðåìåíè t. Òîãäà ïî çàêîíó Íüþòîíà ïðîèçâåäåíèå mẍ äîëæíî áûòü ðàâíî
óïðóãîé ñèëå, ñëîæåííîé ñ ñèëîé òðåíèÿ è âíåøíåé ñèëîé. Ýòî âûðàæàåòñÿ
ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì
                         mẍ + rẋ + kx = F (t),                    (8.1)
êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ìîäåëüþ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè. Äâè-
æåíèå òî÷êè íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì, åñëè F = 0, è âûíóæäåííûì, åñëè
F 6= 0.
    êà÷åñòâå âòîðîãî ïðèìåðà ðàññìîò-
ðèì êîëåáàòåëüíûé êîíòóð, èçîáðàæåí-
                                                        R
íûé íà ðèñ. 8.1, îáëàäàþùèé èíäóê-
òèâíîñòüþ L, ñîïðîòèâëåíèåì R è åì-                                  C
êîñòüþ C . Êðîìå òîãî, ïóñòü íà êîí-      L
òóð äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ý.ä.ñ. (ýëåêòðî-                  ϕ (t)
äâèæóùàÿ ñèëà) ϕ(t), âûçâàííàÿ, íà-
ïðèìåð, ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè.
Îáîçíà÷èì çàâèñÿùèé îò âðåìåíè çà- èñ. 8.1. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð
ðÿä êîíäåíñàòîðà ÷åðåç Q, ñèëó òîêà,
ïðîòåêàþùåãî â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå, ÷åðåç I , à íàïðÿæåíèå íà åãî
îáêëàäêàõ (ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ) ÷åðåç E . Êàê èçâåñòíî èç øêîëüíîãî
êóðñà èçèêè, Q = CE , à ñèëà òîêà I ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ çàðÿ-
äà íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà, âçÿòîé ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, ò. å.
I = −Q̇ = −C Ė . Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà, ïðîèçâåäåíèå RI ðàâíî ñóì-
ìàðíîé ý.ä.ñ., ò. å. ðàâíî â äàííîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèþ E ìèíóñ ý.ä.ñ.
ñàìîèíäóêöèè LI˙ (îíà äåéñòâóåò â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè) ïëþñ
âíåøíÿÿ ý.ä.ñ. ϕ(t). Ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå ýòîãî çàêîíà èìååò âèä:
RI = E − LI˙ + ϕ(t) èëè −RC Ė = E + LC Ë + ϕ(t). àçäåëèâ íà C , ïðèõî-
äèì ê óðàâíåíèþ
                             1
                LË + RĖ +    E = F (t), F (t) = C −1ϕ(t).         (8.2)
                             C
    ðåçóëüòàòå äëÿ íàïðÿæåíèÿ E â êîíòóðå ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå òîãî
æå òèïà, ÷òî è (8.1). îëü ìàññû çäåñü èãðàåò èíäóêòèâíîñòü, ðîëü òðåíèÿ
 ñîïðîòèâëåíèå, ðîëü óïðóãîñòè  âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ åìêîñòè, íàêîíåö,
âíåøíåé ñèëå ñîîòâåòñòâóåò âíåøíÿÿ ý.ä.ñ. (óìíîæåííàÿ íà êîíñòàíòó).
  8.2. Ìîäåëè ïðîöåññîâ êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ñòåðæíÿ è ìåìáðà-
íû.   Ñòðóíû, ñòåðæíè è ìåìáðàíû îòíîñÿòñÿ ê ðàñïðåäåëåííûì òåëàì.
Ïîýòîìó, â îòëè÷èå îò ï. 8.1, ïðîèñõîäÿùèå â íèõ êîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû
áóäóò çàâèñåòü êàê îò âðåìåíè t, òàê è îò îäíîé èëè äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ
ïåðåìåííûõ. Ñòðîãèé âûâîä ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ
ñòðóíû è ìåìáðàíû ëèáî ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ ìîæíî íàéòè âî
ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ (ñì., íàïðèìåð, [6,11,21,56℄. Ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ çäåñü,

                                   85

Страницы