Классические методы математической физики - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
x t
u(x, t)
(u
x
)
2
ρ
∂
2
u
∂t
2
= T
0
∂
2
u
∂x
2
+ F.
T
0
ρ F
ρ = ρ
0
= const
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f,
a
2
= T
0
/ρ
0
f = F/ρ
0
u|
t=0
= ϕ(x),
∂u
∂t
t=0
= ψ(x), x ∈ (0, l),
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0.
u|
x=0
= 0,
∂u
∂x
|
x=l
= 0.
â îñíîâíîì, îáñóæäåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîäåëåé. Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå
ñî ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ. Åñëè åå âûâåñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíî-
âåñèÿ, òî îíà íà÷íåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ, èçäàâàÿ ïðè ýòîì çâóê. Îïðå-
äåëèì èçè÷åñêóþ ìîäåëü ñòðóíû òàê: ñòðóíà åñòü óïðóãàÿ, íåâåñîìàÿ è
àáñîëþòíî ãèáêàÿ íèòü. Óêàçàííûé âûáîð èçè÷åñêîé ìîäåëè ñòðóíû ïîç-
âîëÿåò ïðåíåáðå÷ü òîëùèíîé ñòðóíû, ñèëîé òÿæåñòè, à òàêæå ñèëàìè, âîç-
íèêàþùèìè ïðè åå èçãèáàíèè.  êà÷åñòâå îñíîâíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà
ñòðóíó, âûáåðåì ñèëó íàòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó óêà: íàòÿ-
æåíèå ñòðóíû ïðîïîðöèîíàëüíî åå óäëèíåíèþ.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòðóíà ñîâåðøàåò ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îêîëî ñâî-
åãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ñîâïàäàþùåãî ñ îñüþ x. Îáîçíà÷èâ âåëè÷èíó
îòêëîíåíèÿ ñòðóíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â òî÷êå x â ìîìåíò t ÷åðåç
u(x, t), ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ò. å. òàêèå, â êîòîðûõ ìîæ-
íî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé (ux )2 ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé. Ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ñòðóíû
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
                           ∂ 2u   ∂ 2u
                          ρ 2 = T0 2 + F.                          (8.3)
                           ∂t     ∂x
Çäåñü T0  ïîñòîÿííîå íàòÿæåíèå, ρ  ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ñòðóíû, F 
ïëîòíîñòü âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó äëèíû.  ñëó÷àå êîãäà
ρ = ρ0 = const, óðàâíåíèå (8.3) ïðèíèìàåò âèä îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ
                             ∂ 2u      2
                                     2∂ u
                                  = a     + f,                     (8.4)
                             ∂t2      ∂x2
ãäå a2 = T0 /ρ0 , f = F/ρ0 .
   Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8.3) ëèáî (8.4) íåîá-
õîäèìî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, èìåþùèå âèä
                                ∂u
                u|t=0 = ϕ(x),               = ψ(x), x ∈ (0, l),    (8.5)
                                ∂t    t=0

è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êîíöàõ ñòðóíû.  ñëó÷àå ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà
êîíöàõ, îíè èìåþò âèä

                         u|x=0 = 0, u|x=l = 0.                     (8.6)

Åñëè îäèí èç êîíöîâ ñòðóíû, íàïðèìåð, ëåâûé, çàêðåïëåí, à ïðàâûé  ñâî-
áîäåí, òî âìåñòî (8.6) èñïîëüçóþòñÿ óñëîâèÿ
                                        ∂u
                         u|x=0 = 0,        |x=l = 0.               (8.7)
                                        ∂x


                                      86

Страницы