Классические методы математической физики - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Σ
Ω
Σ
= Ω\Σ
ϕ
∆ϕ = 0 Ω
Σ
,
∂ϕ
∂n
= 0
Γ,
[ϕ]
Σ
= C = const,
∂ϕ
∂n
Σ
= 0
Σ.
[ϕ]
Σ
[∂ϕ/∂n]
Σ
ϕ ∂ϕ/∂n
Σ
Σ
ϕ
H = gradϕ
H
rotH = rotgradϕ = 0, divH = ∆ϕ = 0 Ω
Σ
, H · n =
∂ϕ
∂n
= 0
Γ.
Ω Σ
Ω
Σ
H
Σ
ϕ
Ω Σ
i
Ω
Ω
∗
q
q Ω
Ω q
q H
i
i = 1, 2, ..., q H
i
= gradϕ
i
ϕ
i
Σ = Σ
i
H
i
i = 1, 2, ..., q
ïðåâðàòèòü â îäíîñâÿçíóþ îáëàñòü, ïðîâåäÿ â íåì ðàçðåç Σ âäîëü ïîïåðå÷-
íîãî ñå÷åíèÿ, èìåþùèé âèä êðóãà íà ðèñ. 7.1á. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ΩΣ = Ω\Σ
ñîîòâåòñòâóþùóþ îäíîñâÿçíóþ îáëàñòü è ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ
óíêöèè ϕ èç óñëîâèé
                                       ∂ϕ
                         ∆ϕ = 0 â ΩΣ ,    = 0 íà Γ,                       (7.53)
                                       ∂n
                                        
                                        ∂ϕ
                     [ϕ]Σ = C = const,       = 0 íà Σ.                    (7.54)
                                        ∂n Σ
Çäåñü [ϕ]Σ (ëèáî [∂ϕ/∂n]Σ) îáîçíà÷àåò ñêà÷îê óíêöèè ϕ ëèáî ∂ϕ/∂n ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç Σ, à óñëîâèÿ (7.54) èìåþò ñìûñë óñëîâèé ñîïðÿæåíèÿ íà
Σ. Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [59, ãë. 1,Ÿ4℄ è ññûëêè òàì), ÷òî çàäà÷à (7.53),
(7.54) èìååò åäèíñòâåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíòû
ðåøåíèå ϕ. Ïîëîæèì
                               H = gradϕ                         (7.55)
è äîêàæåì, ÷òî âåêòîð H ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì çàäà÷è (7.52). Äåé-
ñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ (3.18) è (7.53), èìååì
                                                             ∂ϕ
    rotH = rotgradϕ = 0, divH = ∆ϕ = 0 â ΩΣ, H · n =            = 0 íà Γ.
                                                             ∂n
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â (7.52) âûïîëíÿþòñÿ âñþäó â
îáëàñòè Ω, êðîìå òî÷åê âûáðàííîãî ðàçðåçà Σ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âíóò-
ðåííèìè äëÿ èñõîäíîé îáëàñòè Ω. Òåì ñàìûì îñòàåòñÿ ëèøü ïîêàçàòü, ÷òî
óðàâíåíèÿ â (7.52) âûïîëíÿþòñÿ òàêæå è â òî÷êàõ ðàçðåçà Σ. Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ (7.54) íà ðàçðåçå, íî òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ äî-
ïîëíèòåëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Ïîýòîìó ìû íå áóäåì íà ýòîì
îñòàíàâëèâàòüñÿ, íî îòìåòèì, ÷òî äëÿ îáëàñòè òèïà òîðà ñóùåñòâóåò ëèøü
îäèí âåêòîð H, ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîé çàäà÷è (7.52). ×òîáû
ïîëó÷èòü ýòîò âåêòîð, íàäî ïðîâåñòè â òîðå ðàçðåç Σ, ïðåâðàòèâ åãî â îäíî-
ñâÿçíóþ îáëàñòü, íàéòè ðåøåíèå ϕ çàäà÷è (7.53), (7.54) è äàëåå îïðåäåëèòü
èñêîìûé âåêòîð ñ ïîìîùüþ îðìóëû (7.55).
   Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ïðè
íàõîæäåíèè âñåõ ðåøåíèé çàäà÷è (7.52) â ïðîèçâîëüíîé ìíîãîñâÿçíîé îá-
ëàñòè Ω, ò. å. îïÿòü íóæíî ïðîâåñòè ðàçðåçû Σi, ïðåâðàùàþùèå Ω â îä-
íîñâÿçíóþ îáëàñòü Ω∗ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî òàêèõ ðàçðåçîâ ðàâíî q .
Ìû îòìåòèì, ÷òî ýòî ÷èñëî q ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì îáëàñòè Ω, ò. å. îíî íå
çàâèñèò îò âèäà ðàçðåçîâ, à çàâèñèò ëèøü îò òîïîëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû îá-
ëàñòè Ω. Óêàçàííîå ÷èñëî q íàçûâàåòñÿ ïåðâûì ÷èñëîì Áåòòè. Ìîæíî ïî-
êàçàòü, ÷òî çàäà÷à (7.52) èìååò ðîâíî q ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé Hi ,
i = 1, 2, ..., q . Ïðè ýòîì Hi = gradϕi , ãäå ϕi ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è âèäà
(7.53), (7.54) ïðè Σ = Σi . Óêàçàííûå âåêòîðû Hi , i = 1, 2, ..., q , íàçûâàþòñÿ

                                      83

Страницы