Классические методы математической физики - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

p
∆ϕ = 0 Ω, ϕ = 1 Γ
i
, ϕ = 0 Γ\Γ
i
, i = 1, 2, ..., p.
ϕ
i
E
i
= −gradϕ
i
, i = 1, 2, ..., p.
E
i
rotgradϕ
i
= 0 divg radϕ
i
≡ ∆ϕ
i
= 0
ϕ
i
Γ
j
Γ gradϕ
i
Γ
gradϕ
i
×n = 0 Γ
E
i
p
E
i
E
p E
i
p E
i
Γ Γ
p = 0 Γ
E
E
i
E = 0, D = 0, ρ
e
= 0,
R
3
B = µ
0
µH
µ = const
rotH = J, div H = 0 R
3
.
Ïîïûòàåìñÿ îïèñàòü êëàññ âñåõ âîçìîæíûõ ðåøåíèé çàäà÷è (7.43). Ñ ýòîé
öåëüþ ðàññìîòðèì p çàäà÷ Äèðèõëå
       ∆ϕ = 0 â Ω, ϕ = 1 íà Γi , ϕ = 0 íà Γ\Γi , i = 1, 2, ..., p.   (7.44)
Ïóñòü ϕi  ðåøåíèå çàäà÷è (7.44) (ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü åãî äî-
êàçûâàåòñÿ â òåîðèè ïîòåíöèàëà, ñì. ãë. 7). Ââåäåì âåêòîðû
                        Ei = −gradϕi, i = 1, 2, ..., p.              (7.45)
ßñíî, ÷òî âåêòîðû Ei óäîâëåòâîðÿþò ïåðâûì äâóì óðàâíåíèÿì â (7.43)
èáî â ñèëó (3.18) rotgradϕi = 0, divgradϕi ≡ ∆ϕi = 0. Êðîìå òîãî, òàê êàê
óíêöèÿ ϕi ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåí-
òå Γj ãðàíèöû Γ, òî âåêòîð gradϕi íàïðàâëåí ïî íîðìàëè âñþäó íà Γ. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî gradϕi ×n = 0 íà Γ. Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî êàæäûé âåêòîð
Ei ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîé çàäà÷è (7.43). Ïîñêîëüêó ê òîìó æå îíè
ëèíåéíî íåçàâèñèìû (ýòî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî), òî òåì
ñàìûì ìû ïîñòðîèëè p ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé çàäà÷è
(7.43). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíè èñ÷åðïûâàþò ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðåøåíèé
îäíîðîäíîé çàäà÷è (7.43) (ñì., íàïðèìåð, [60℄). Óêàçàííûå âåêòîðû Ei íà-
çûâàþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè âåêòîðàìè ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà.  ðåçóëüòàòå
ìû äîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå E íåîäíîðîäíîé çàäà÷è (7.42) îïðåäåëÿåòñÿ ñ
òî÷íîñòüþ äî p ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðîâ Ei ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà. Ïîä÷åðê-
íåì, ÷òî ÷èñëî p âñåõ âåêòîðîâ Ei ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì âíóòðåííèõ ñâÿçíûõ
êîìïîíåíò ãðàíèöû Γ, ò. å. îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ãðàíèöû Γ. Åãî íàçû-
âàþò âòîðûì ÷èñëîì Áåòòè.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà p = 0, ò. å. Γ ñîñòîèò
òîëüêî èç îäíîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû, ðåøåíèå E çàäà÷è (7.42) åäèíñòâåí-
íî. Áîëåå ïîäðîáíóþ èíîðìàöèþ î ñâîéñòâàõ ãàðìîíè÷åñêèõ âåêòîðîâ Ei ,
à òàêæå î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è (7.42) ìîæíî íàéòè â [12, ãë. 1℄ è [60, ãë. 9℄.
   7.6. Ìîäåëü ìàãíèòîñòàòèêè. Ìàãíèòíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. àñ-
ñìîòðèì â ðàìêàõ ìîäåëè ñòàòè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñëó÷àé,
êîãäà
                           E = 0, D = 0, ρe = 0,                    (7.46)
òàê ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îòñóòñòâóåò, à ñòàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðèíèìåò
âèä óðàâíåíèé (7.28), íàçûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè ìàãíèòîñòàòèêè. Äëÿ
âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (7.28) íåîáõîäèìî çàäàòü äî-
ïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âèä êîòîðûõ çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
Êàê â ï. 7.5, ìû ðàññìîòðèì äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ.
   1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî çàïîëíåíî èäåàëüíîé ìàãíèòíîé
ñðåäîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â R3 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå B = µ0 µH ñ
µ = const. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.28) ïðèíèìàþò âèä
                         rotH = J, divH = 0 â R3 .                   (7.47)

                                      81

Страницы