Классические методы математической физики - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε =
ε
1
Ω
1
,
ε
2
Ω
2
,
ϕ =
ϕ
1
Ω
1
,
ϕ
2
Ω
2
,
E =
E
1
Ω
1
,
E
2
Ω
2
,
D =
D
1
Ω
1
,
D
2
Ω
2
.
Ω
1
Ω
2
ε
ε
0
div (εgrad ϕ) = −ρ
e
R
3
\ Γ
s
.
Γ
s
E
2
× n −E
1
× n = 0, (D
2
− D
1
) · n = ρ
s
Γ
s
.
E
Γ
s
grad ϕ
2
× n − grad ϕ
1
× n = 0 Γ
s
,
ϕ
R
3
ϕ E
i
D
i
ϕ
i
D
2
D
1
ρ
s
Ω
2
Ω
2
E
2
= 0 D
2
= 0
Ω ≡ Ω
1
Ω ϕ
gradϕ × n = 0 Γ.
ϕ
2
= 0 ϕ
1
= ϕ Γ = Γ
s
ϕ
Γ Ω ϕ
Γ Γ
ϕ = 0 Γ.
Ïîëîæèì
       ε1 â Ω 1 ,            ϕ1 â Ω1 ,            E1 â Ω1,       D1 â Ω1 ,
                                                               
  ε=                ϕ=                   E=                  D=
       ε2 â Ω 2 ,            ϕ2 â Ω2 ,            E2 â Ω2,       D2 â Ω2 .
                                                                       (7.35)
Ïîäñòàâëÿÿ (7.34) â ïåðâîå óðàâíåíèå ìîäåëè (7.27), ðàññìàòðèâàåìîå â îá-
ëàñòè Ω1 , à çàòåì â Ω2 , ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (7.35) ê ñëåäóþùåìó
óðàâíåíèþ ñ ðàçðûâíûì êîýèöèåíòîì ε:
                      ε0 div (εgrad ϕ) = −ρe â R3 \ Γs .               (7.36)
Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ê óðàâíåíèþ (7.36) ñëåäóåò äîáà-
âèòü óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè (7.31), à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ
íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà Γs . Îíè âûòåêàþò èç îáùèõ óñëîâèé ñîïðÿæåíèÿ
(7.20), êîòîðûå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ýëåêòðîñòàòèêè ñâîäÿòñÿ ê
óñëîâèÿì:
             E2 × n − E1 × n = 0, (D2 − D1 ) · n = ρs íà Γs .          (7.37)
Äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðâûì ñîîòíîøåíèåì â (7.37),
îçíà÷àþùèì íåïðåðûâíîñòü òàíãåíöèàëüíîé êîìïîíåíòû âåêòîðà E ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç Γs . Çàïèñàâ ñ ó÷åòîì (7.34) óêàçàííîå ñîîòíîøåíèå â âèäå
                    grad ϕ2 × n − grad ϕ1 × n = 0 íà Γs ,              (7.38)
ïðèõîäèì ê èñêîìîé çàäà÷å äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà ϕ ýëåêòðîñòàòè-
÷åñêîãî ïîëÿ â R3 . Îíà ñîñòîèò èç ñîîòíîøåíèé (7.36), (7.38) è (7.31). Î
ìåòîäàõ åå ðåøåíèÿ ìîæíî ïðî÷èòàòü â [59℄, [60℄. Ìû ëèøü îòìåòèì, ÷òî
ïîñëå íàõîæäåíèÿ ϕ âåêòîðû Ei è Di îïðåäåëÿþòñÿ ïî ϕi ñîîòíîøåíèÿìè
(7.34). Íàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ D2 è D1 âî âòîðîå óðàâíåíèå (7.37), íàõîäèì
ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ρs , ÿâëÿþùóþñÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè
èñêîìîé âåëè÷èíîé.
   àññìîòðèì òåïåðü â ðàìêàõ ñëó÷àÿ 2 ñèòóàöèþ, êîãäà îáëàñòü Ω2 çàïîë-
íåíà èäåàëüíûì ïðîâîäíèêîì è ñëåäîâàòåëüíî, â Ω2 âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
E2 = 0, D2 = 0.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî
ïîëÿ â îáëàñòè Ω ≡ Ω1 ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ â îáëàñòè Ω ðåøåíèÿ ϕ
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (7.30), óäîâëåòâîðÿþùåãî êðàåâîìó óñëîâèþ
                              gradϕ × n = 0 íà Γ.                      (7.39)
Îíî âûòåêàåò èç (7.38), åñëè òàì ïîëîæèòü ϕ2 = 0, ϕ1 = ϕ, Γ = Γs . Óñëî-
âèå (7.39) îçíà÷àåò, ÷òî òàíãåíöèàëüíûå ïðîèçâîäíûå îò ïîòåíöèàëà ϕ èñ-
÷åçàþò íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë ϕ äîëæåí
ïðèíèìàòü ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà Γ. Åñëè ãðàíèöà Γ ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé, òî
òîãäà ýòó êîíñòàíòó ìîæíî âûáðàòü ðàâíîé íóëþ, ïîëàãàÿ
                                  ϕ = 0 íà Γ.                          (7.40)

                                         79

Страницы