Классические методы математической физики - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
ϕ
E = −gradϕ =⇒ D = −ε
0
εgradϕ.
ϕ
∆ϕ = −
ρ
e
ε
0
ε
.
ϕ(x) = o(1) |x| → 0.
ϕ
x ∈ R
3
ϕ(x
0
) =
1
4πε
0
ε
Z
Ω
ρ
e
(x)dx
|x − x
0
|
.
ρ
e
R
3
R
3
R
3
ρ
e
1/4π|x|
R
3
R
3
= Ω
1
∪Ω
2
Ω
1
Ω
1
Ω
2
ε
1
= ε
2
=
D
1
= ε
0
ε
1
E
1
Ω
1
, D
2
= ε
0
ε
2
E
2
Ω
2
.
Ω
i
i = 1, 2
Γ
s
E
i
= 0 Ω
i
i = 1, 2 Ω
i
ϕ
i
i = 1, 2
E
i
= −grad ϕ
i
, D
i
= −ε
0
ε
i
grad ϕ
i
Ω
i
, i = 1, 2.
â R3 ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ ïîòåíöèàëà ϕ, ñ êîòîðûì âûïîëíÿþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿ
                   E = −gradϕ =⇒ D = −ε0εgradϕ.               (7.29)
Ïîäñòàâëÿÿ (7.29) â ïåðâîå óðàâíåíèå ìîäåëè (7.27), ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì
(3.18) ê óðàâíåíèþ Ïóàññîíà äëÿ ïîòåíöèàëà ϕ, èìåþùåìó âèä
                                     ρe
                             ∆ϕ = − .                           (7.30)
                                     ε0 ε
(Îíî, êîíå÷íî, ñîâïàäàåò ñ âûâåäåííûì ⠟ 3 óðàâíåíèåì (3.14)). ×òîáû
âûäåëèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.30), à ñëåäîâàòåëüíî, è ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ìîäåëè ýëåêòðîñòàòèêè, íàì äîñòàòî÷íî â ñîîòâåòñòâèè ñ
çàìå÷àíèåì 3.4 ïðèñîåäèíèòü ê (7.30) óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè, èìåþùåå
âèä
                       ϕ(x) = o(1) ïðè |x| → 0.                   (7.31)
Èç ðåçóëüòàòî⠟ 3 è ãë. 7 âûòåêàåò, ÷òî ðåøåíèå ϕ çàäà÷è (7.30), (7.31)
ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ∈ R3 ñ
ïîìîùüþ îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà
                                 1      ρe (x)dx
                                     Z
                       ϕ(x0) =                   .                (7.32)
                               4πε0ε |x − x0|
                                         Ω

Ïðè ýòîì îò ïëîòíîñòè ρe òðåáóåòñÿ íåêîòîðàÿ ðåãóëÿðíîñòü.  ÷àñòíîñòè,
îíà ìîæåò áûòü êàê ãëàäêîé èíèòíîé â R3 óíêöèåé, òàê è óíêöèåé,
ëèøü èíòåãðèðóåìîé ëèáî èíòåãðèðóåìîé ñ êâàäðàòîì â R3 . Îíà ìîæåò
áûòü òàêæå îáîáùåííîé óíêöèåé, ñîñðåäîòî÷åííîé â íåêîòîðûõ òî÷êàõ,
ëèíèÿõ èëè ïîâåðõíîñòÿõ â R3 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå èíòåãðàë â (7.32) çàìå-
íÿåòñÿ ñâåðòêîé îáîáùåííîé óíêöèè ρe è óíêöèè 1/4π|x|, ÿâëÿþùåéñÿ
ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â R3 (ñì. îá ýòîì ïîäðîáíåå
â [59℄, [60℄ è ⠟ 1 ãë. 6).
   2. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî R3 = Ω1 ∪ Ω2 , ãäå Ω1  îãðàíè÷åííîå îòêðû-
òîå ìíîæåñòâî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâà Ω1 è Ω2 çàïîëíåíû ðàçíûìè
èäåàëüíûìè ñðåäàìè äèýëåêòðè÷åñêîãî òèïà ñ äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöà-
åìîñòÿìè ε1 = onst è ε2 = onst. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøå-
íèÿ
                      D1 = ε0 ε1E1 â Ω1, D2 = ε0 ε2E2 â Ω2.         (7.33)
Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ Ωi , i = 1, 2, ÿâëÿåòñÿ
îäíîñâÿçíîé îáëàñòüþ. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöà ðàçäåëà
Γs ñîñòîèò òîëüêî èç îäíîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû. Óðàâíåíèå rotEi = 0 â Ωi,
i = 1, 2, ïîçâîëÿåò ââåñòè äëÿ êàæäîé îáëàñòè Ωi ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕi,
i = 1, 2, òàê ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
            Ei = −grad ϕi , Di = −ε0εi grad ϕi â Ωi, i = 1, 2.      (7.34)

                                    78

Страницы